(1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) Učinimo to ???

Odgovor:

#a = 1, b = 1 #

Obrazloženje:

Rješavanje tradicionalnog načina

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

Sada se rješava # S #

#a = 1/2 (1 + b pm sqrt 3 sqrt 2 b - b ^ 2-1) # ali # S # mora biti stvaran pa je uvjet

# 2 b - b ^ 2-1 ge 0 # ili # b ^ 2-2b + 1 le 0 rArr b = 1 #

sada zamjenjuje i rješava # S #

# 1 - 2 a + a ^ 2 = 0 rArr a = 1 # i rješenje je

#a = 1, b = 1 #

Drugi način da učinite isto

# (1 + a + b) ^ 2 - 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) = 0 rArr 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = 0 #

ali

# 1 - a + a ^ 2 - b - a b + b ^ 2 = (a - 1) ^ 2 + (b - 1) ^ 2- (a - 1) (b - 1) #

i zaključivanje

# (a-1) ^ 2 + (b-1) ^ 2- (a-1) (b-1) = 0 rArr a = 1, b = 1 #

Odgovor:

D. Postoji točno jedan par rješenja # (a, b) = (1, 1) #

Obrazloženje:

S obzirom na:

# (1 + a + b) ^ 2 = 3 (1 + a ^ 2 + b ^ 2) #

Imajte na umu da ovo možemo pretvoriti u lijepi simetrični homogeni problem generalizacijom na:

# (a + b + c) ^ 2 = 3 (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) #

zatim postavite # c = 1 # na kraju.

Šireći obje strane ovog generaliziranog problema, imamo:

# a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2ab + 2bc + 2ca = 3a ^ 2 + 3b ^ 2 + 3c ^ 2 #

Oduzimanjem lijeve strane s obje strane dobivamo:

# 0 = 2a ^ 2 + 2b ^ 2 + 2c ^ 2-2ab-2bc-2ca #

# boja (bijela) (0) = a ^ 2-2ab + b ^ 2 + b ^ 2-2bc + c ^ 2 + c ^ 2-2ca + a ^ 2 #

# boja (bijela) (0) = (a-b) ^ 2 + (b-c) ^ 2 + (c-a) ^ 2 #

Za stvarne vrijednosti # S #, # B # i # C #, ovo se može zadržati samo ako je sve # (A-b) #, #(prije Krista)# i # (C-a) # su nula i stoga:

#a = b = c #

Onda stavljajući # c = 1 # nalazimo jedino rješenje izvornog problema, naime # (a, b) = (1, 1) #