Koji su neki primjeri konvergentnih serija?

Odgovor:

Evo tri značajna primjera …

Obrazloženje:

Geometrijske serije

Ako #abs (r) <1 # zatim zbroj geometrijskih serija #a_n = r ^ n a_0 # je konvergentan:

#sum_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) #

Eksponentna funkcija

Definiranje serije # E ^ x # je konvergentan za bilo koju vrijednost #x#:

# e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) #

Da to dokažemo, za bilo koji dan #x#, neka # N # biti cijeli broj veći od #abs (x) *, Zatim #sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) # konvergira jer je konačna suma i #sum_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) # konvergira jer je apsolutna vrijednost omjera uzastopnih izraza manja od #abs (x) / (N + 1) <1 #.

Baselski problem

Baselski problem, postavljen 1644. i riješen od strane Eulera 1734., tražio je vrijednost zbroja recipročnih kvadrata pozitivnih cijelih brojeva:

#sum_ (n = 1) ^ oo 1 / (n ^ 2) = pi ^ 2/6 #