Kako riješiti integraciju?

Odgovor:

# P = (15 / 2,0) *

* P = (3,9) *

# „Zona” = 117/4 #

Obrazloženje:

Q je x-presjek linije # 2 x + y = 15 #

Da bismo pronašli ovu točku, dopustite # Y = 0 #

# 2 x = 15 #

# X = 15/2 #

Tako # P = (15 / 2,0) *

P je točka presretanja između krivulje i crte.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Pod #(1)# u #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# 2 x ^ + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3), = 0 #

# x = -5 # ili # 3 x = #

Iz grafikona, x koordinata P je pozitivna, tako da možemo odbaciti # x = -5 #

# 3 x = #

# Y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) *

graf {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Sada za područje

Da bismo pronašli ukupno područje ove regije, možemo pronaći dva područja i dodati ih zajedno.

To će biti područje ispod # Y = x ^ 2 # od 0 do 3, a područje ispod crte od 3 do 15/2.

# "Površina ispod krivulje" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3-0 3xx3 ^ #

#=9#

Možemo riješiti područje linije kroz integraciju, ali lakše je tretirati kao trokut.

# "Površina ispod crte" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#:. "ukupna površina osjenčane regije" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Odgovor:

Za 3 i 4

Tom je učinio 10

Obrazloženje:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x)

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x)

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Odgovor:

Pogledaj ispod:

Upozorenje: Dug odgovor!

Obrazloženje:

Za (3):

Upotreba objekta:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Stoga:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Za (4):

(ista stvar)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# X = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Međutim, moramo zamijeniti granice integralnog, tako da:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Tako:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Za 10 (a):

Imamo dvije funkcije koje se sijeku na # P #, tako da # P #:

# X ^ 2--2 x + 15 #

(Pretvorio sam funkciju linije u oblik presijecanja nagiba)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (X + 5) (x-3), = 0 #

Tako # 3 x = # kao što smo desno od # Y # osi, tako #x> 0 #.

(unos # 3 x = # u bilo koju od funkcija)

# -2 x y = + 15 #

# Y = 2 (3) + 15 #

# Y = 15-6 = 9 #

Dakle, koordinata od # P # je #(3,9)#

Za # P #, crta # -2 x y = + 15 # reže # Y #-aksis, tako # Y = 0 #

# 0 = -2 x + 15 #

# 2 x = 15 #

# X = (15/2) = 7,5 #

Tako # P # nalazi se na #(7.5, 0)#

Za 10 (b).

Izgradit ću dva integrala kako bih pronašao područje. Riješit ću integrale zasebno.

Područje je:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Riješi prvi integralni)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(zamijenite granice integriranom izrazu, zapamtite:

Gornja donja granica pronaći vrijednost integrala)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(riješiti drugi integral)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7,5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(granice zamjene: gornje-donje)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #