Imamo: {1,2,3} -> {1,2} i g: {1,2,3} -> {1,2,3,4}. Koliko injekcijskih funkcija f i g postoje?

Odgovor:

# F # ne može biti injekcija.

# G # može biti injekcija #24# načina.

Obrazloženje:

Funkcija je injektivna ako dva ulaza ne daju isti izlaz. Drugim riječima, nešto slično

#f (x) = f (y), quad x t

ne može se dogoditi.

To znači da, u slučaju konačne domene i kodomene, funkcija može biti injektivna ako i samo ako je domena manja od kodomene (ili, najviše, jednaka), u smislu kardinalnosti.

To je razlog zašto # F # nikada ne može biti injekcija. Zapravo, možete popraviti #F (1) # kako hoćeš. Reći #F (1) = 1 #, na primjer. Prilikom odabira #F (2) #, ne možemo ponovno to reći #F (2) = 1 #, ili # F # ne bi bio injekcijski. Ali kada je u pitanju #F (3) * nemamo izbora, ako kažemo #F (3) = 1 # imamo #F (1) = f (3) #, i ako kažemo #F (3) = 2 # imamo #F (2) = f (3) #.

Drugim riječima, moramo odrediti jedan od dva moguća izlaza za svaki od tri ulaza. Trebalo bi biti jasno da ulazi ne mogu pružiti različite izlaze.

S druge strane # G # može biti injektivan, jer postoji "dovoljno prostora": svaki od tri ulaza može odabrati jedan od četiri izlaza na takav način da nema različitih ulaza koji daju isti izlaz.

Ali na koji način? Pa, pretpostavimo da počnemo iznova #F (1) #, Možemo odabrati bilo koji od četiri ulaza za ovaj unos, tako da možemo odabrati #F (1) # na četiri načina.

Kada je u pitanju #F (2) #, gubimo slobodu: možemo dodijeliti bilo koju vrijednost #F (2) #, osim onog koji smo dodijelili #F (1) #, tako da nam ostaju dva izbora. Na primjer, ako popravimo #F (1) = 2 #, onda #F (2) # može biti #1#, #3# ili #4#.

Po istoj logici imamo dva izbora #F (3) *: iz četiri moguća izbora odbacujemo one koji su već dodijeljeni #F (1) # i #F (3) *.

Dakle, možemo definirati # G # u #4*3*2 = 24# tako # G # je injekcija.