Kako riješiti ovu jednadžbu?

Odgovor:

# "Pogledajte objašnjenje" #

Obrazloženje:

# "Prvo primijeniti teoremu racionalnih korijena kako bi se pronašli racionalni korijeni."

# "Nalazimo" x = 1 "kao racionalni korijen."

# "Dakle" (x-1) "je čimbenik. Taj faktor dijelimo:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Imamo preostalu kubičnu jednadžbu koja nema racionalnih korijena."

# "Možemo ga riješiti zamjenom Vieta metode."

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Zamijeni" x = y + 2/9 ".

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Zamijeni" y = (sqrt (22) / 9) z ".

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Zamijeni" z = t + 1 / t ".

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Zamjena" u = t ^ 3 "daje kvadratnu jednadžbu:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Korijen ove kvadratne jednadžbe je u = 5.73717252."

# "Zamjena varijabli unatrag, donosi:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

#x = 1.44631151. #

# "Ostali korijeni su složeni:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i.

# "(Mogu se pronaći dijeljenjem" (x-1.44631151)) #

Odgovor:

Racionalna stvarna nula jest # X = 1 #.

Tada postoji iracionalna stvarna nula:

# x_1 = 1/9 (2 + korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + korijen (3) (305-27sqrt (113))) #

i srodne ne-stvarne kompleksne nule.

Obrazloženje:

S obzirom na:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Imajte na umu da je zbroj koeficijenata #0#.

To je: #3-5+2 = 0#

Stoga to možemo zaključiti # X = 1 # je nula i # (X-1) # faktor:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

# boja (bijela) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Preostali kubni je nešto složeniji …

S obzirom na:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Transformacija Tschirnhaus

Da bi zadatak rješavanja kubnog jednostavnijeg, učinili kubičnim jednostavnijim korištenjem linearne zamjene poznate kao Tschirnhausova transformacija.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ ^ 3-486x 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

gdje # T = (9x-2) *

Cardanova metoda

Želimo riješiti:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

pustiti # T = u + v #.

Zatim:

# ^ 3 u + v ^ 3 + 3 (uv-22) (u + v) -610 = 0 #

Dodajte ograničenje # V = 22 / u # eliminirati # (U + v) * pojam i dobiti:

# ^ 3 u + 10.648 / z = 0 ^ 3-610 #

Pomnožite pomoću # U ^ 3 # i malo prerasporedite da biste dobili:

# (Z ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Koristite kvadratnu formulu da biste pronašli:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372100-42592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# 305 + = -27sqrt (113) #

Budući da je ovo Real i derivacija je simetrična u # U # i # # V, možemo koristiti jedan od tih korijena za # U ^ 3 # a drugi za # V ^ 3 # pronaći pravi korijen:

# T_1 = korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + korijen (3) (305-27sqrt (113)) *

i srodni kompleksni korijeni:

# t_2 = omega korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 korijen (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega korijen (3) (305-27sqrt (113)) #

gdje # Omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # je primitivni Complex kubni korijen od #1#.

Sada # X = 1/9 (2 + t) #, Dakle, korijeni našeg izvornog kubika su:

# x_1 = 1/9 (2 + korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + korijen (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + omega korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 korijen (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 korijen (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega korijen (3) (305-27sqrt (113))) #