Lim_ (x-> 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x))?

Odgovor:

# lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 #

Obrazloženje:

tražimo:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

Kada procijenimo granicu, promatramo ponašanje funkcije "blizu" točke, a ne nužno ponašanje funkcije "na" dotičnoj točki, te stoga #x rarr 0 #, ni u kojem trenutku ne moramo razmatrati što se događa na # X = 0 #, Tako dobivamo trivijalan rezultat:

# L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) #

# lim_ (x rarr 0)

# = 1 #

Za jasnoću, graf funkcije funkcije vizualizacije okoline # X = 0 #

graf {sin (1 / x) / sin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Treba pojasniti da je funkcija # Y = sin (1 / x) / sin (1 / x) * je nedefinirano u # X = 0 #

Odgovor:

Pogledajte dolje.

Obrazloženje:

Definicije ograničenja funkcije koju koristim ekvivalentne su:

#lim_ (xrarra) f (x) = L # samo i za sve pozitivne #epsilon#, postoji pozitivno #delta# takav da za svaki #x#, ako # 0 <abs (x-a) <delta # zatim #abs (f (x) - L) <epsilon #

Zbog značenja "#abs (f (x) - L) <epsilon #", to zahtijeva za sve #x# s # 0 <abs (x-a) <delta #, #F (x) * je definirano.

To jest, za traženo #delta#, sve od # (A-delta, a + delta) # osim moguće # S #, leži u domeni # F #.

Sve ovo dobiva:

#lim_ (xrarra) f (x) # postoji samo ako # F # je definiran u nekom otvorenom intervalu koji sadrži # S #, osim možda u # S #.

(# F # mora biti definirano u nekim izbrisanim otvorenim susjedstvu # S #)

Stoga, #lim_ (xrarr0) sin (1 / x) / sin (1 / x) * ne postoji.

Gotovo trivijalan primjer

#f (x) = 1 # za #x# iracionalan stvarni (nedefiniran za racionalnosti)

#lim_ (xrarr0) f (x) # ne postoji.