Odgovor:
Tangenta je paralelna s #x# osi kada je nagib (stoga # Dy / dx #) je nula i paralelna je s # Y # osi kada je nagib (opet, # Dy / dx #) Ide na # Oo # ili # -Oo #
Obrazloženje:
Započet ćemo s nalazom # Dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Sada, # dy / dx = 0 # kada je nuimerator #0#, pod uvjetom da to također ne čini nazivnik #0#.
# 2 x + y = 0 # kada #y = -2x #
Sada imamo dvije jednadžbe:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Riješi (prema zamjeni)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
koristeći #y = -2x #, dobivamo
Tangenta na krivulju je vodoravna na dvije točke:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # i # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Primijetite da ovi par ne čine imenitelj # Dy / dx # jednak #0#)
Da biste pronašli točke na kojima je tangenta vertikalna, napravite nazivnik # Dy / dx # jednaka tpo #0# (bez izrade brojnika #0#).
Mogli bismo proći kroz rješenje, ali simetriju jednadžbe koju ćemo dobiti:
# X = -2y #, Dakle
#y = + - sqrt21 / 3 #
i točke na krivulji na kojoj je tangenta vertikalna su:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # i # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Usput. Budući da imamo tehnologiju, ovdje je grafikon ove rotirane elipse: (Imajte na umu to # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # koje možete vidjeti na grafikonu.)
graf {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}
Odgovor:
Koristim samo matematiku iz srednje škole
Tangente paralelne s osi x na:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) i (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangente paralelne osi y na:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) i (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Obrazloženje:
Pogledao sam Jimov odgovor, koji izgleda kao lijepo, standardno liječenje. Ali nisam mogla a da se ne osjećam tužno zbog svih srednjoškolaca u Sokratovoj zemlji koji žele pronaći tangente algebarskih krivulja, ali su još uvijek daleko od računice.
Srećom, oni mogu obavljati te probleme koristeći samo Algebru I.
# 2 x ^ oksi + + y ^ 2-7 #
To može biti pomalo komplicirano za prvi primjer, ali idemo s njim. Pišemo našu krivulju kao #F (x, y) = 0 # gdje
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Idemo uzeti # (R, s) # kao točka na # F #, Želimo istražiti # F # blizu # (R, s) # pa pišemo
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Širimo se, ali ne proširujemo pojmove razlike # x-R # i # Y S #, Želimo ih zadržati netaknutim kako bismo kasnije mogli eksperimentirati s uklanjanjem.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Mi smo rekli # (R, s) # je uključen # F # tako #F (R, S) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Odredili smo po stupnjevima i možemo eksperimentirati s aproksimacijama # F # blizu # (R, s) # spuštanjem viših stupnjeva. Ideja je kada # (X, y) # je blizu # (R, s) # zatim # x-R # i # Y S # su mali, a njihovi trgovi i proizvodi još su manji.
Napravimo samo neke aproksimacije # F #, Od # (R, s) # je na krivulji, konstantna aproksimacija, ispuštajući sve izraze razlike, je
# f_0 (x, y) = 0 #
To nije osobito uzbudljivo, ali nam to točno govori u blizini # (R, s) # će dati vrijednost blizu nule za # F #.
Hajde da postanemo zanimljiviji i zadržimo linearne izraze.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Kada to postavimo na nulu, dobivamo najbolju linearnu aproksimaciju # F # blizu # (R, s), # koje je tangenta do # F # na # (R, s). # Sada dolazimo negdje.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Možemo razmotriti i druge aproksimacije:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
To su tangente višeg reda, one koje studenti matematike teško mogu dobiti. Već smo prošli izvan fakultetskog računa.
Postoji više aproksimacija, ali upozoravam se da ovo postaje dugo. Sada kada smo naučili kako napraviti račun koristeći samo Algebru I, učinimo problem.
Želimo pronaći točke gdje je tangenta linija paralelna s #x# osi i # Y # os.
Našli smo našu tangentnu liniju na # (R, s) # je
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Paralelno s #x# Osovina znači jednadžbu #y = text {constant} #, Tako je koeficijent uključen #x# mora biti nula:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (R, s) # tako je na krivulji #F (R, S) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Od # E = -2R # točke su
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) i (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Slično tome, znači i paralelno s y osi # 2s + r = 0 # što bi trebalo zamijeniti x i y zbog simetrije problema. Dakle, druge točke su
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) i (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Ček.
Kako provjeriti? Učinimo Alpha radnju.
zemljište x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Izgleda dobro. Račun na algebarskim krivuljama. Prilično dobro za srednju školu.
