Za koje vrijednosti x je f (x) = x-x ^ 2e ^ -x konkavna ili konveksna?

Odgovor:

Pronađite drugi derivat i provjerite njegov znak. To je konveksno ako je pozitivno i konkavno ako je negativno.

Udubljenje za:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Konveksno za:

#x u (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #

Obrazloženje:

#F (x) = x-x ^ 2e ^ -x #

Prvi derivat:

#F "(x) = 1- (2xe ^ -x + x ^ 2 * (- e ^ X)) *

#F "(x) = 1-2xe ^ -x + x ^ 2e ^ -x #

Uzeti # E ^ -x # kao zajednički faktor za pojednostavljenje sljedećeg izvedenice:

#F "(x) = 1 + e ^ -X * (x ^ 2-2x) #

Drugi derivat:

#F '(x) = 0 + (- ^ e -X * (x ^ 2-2x) + e ^ -X * (2 x-2)) *

#F '(x) = e ^ -X * (2x-2x ^ 2 + 2x) #

#F '(x) = e ^ -X * (- x ^ 2 + 4x-2) *

Sada moramo proučiti znak. Možemo zamijeniti znak za lako rješavanje kvadratnog:

#F '(x) = - ^ e -X * (x ^ 2-4 * + 2) *

# Δ = b ^ 2-4 * a * c = 4 ^ 2-4 * 1 * 2 = 8 #

Za izradu kvadratnog proizvoda:

#x_ (1,2) = (- b + -sqrt (Δ)) / (2x a) = (4 + -sqrt (8)) / (2 x 1) = 2 + -sqrt (2) #

Stoga:

#F '(x) = - ^ e -X * (X (2-sqrt (2))) + (x- (2 + sqrt (2))) *

• Vrijednost od #x# između ova dva rješenja daje negativan kvadratni znak, dok svaka druga vrijednost #x# čini ga pozitivnim.
• Bilo koja vrijednost #x# pravi # E ^ -x # pozitivan.
• Negativni znak na početku funkcije obrće sve znakove.

Stoga, #F '(X) * je:

Pozitivno, dakle konkavno za:

#x in (2-sqrt (2), 2 + sqrt (2)) #

Negativno, stoga konveksno za:

#x u (-oo, 2-sqrt (2)) uu (2 + sqrt (2), + oo) #