Koja je jednadžba tangentne linije f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 na x = 5?

Jednadžba tangentne linije ima oblik:

# Y = boja (narančasta) (a) X + boje (ljubičasta) (b) #

gdje # S # je nagib ove ravne crte.

Pronaći nagib te tangente na #F (x) * na mjestu # X = 5 # trebamo razlikovati #F (x) *

#F (x) * je funkcija kvocijenta forme # (U (x)) / (v (x)) *

gdje #U (x) = x-3 # i #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#COLOR (plava) (f (x) = (u '(x) v (x) -V' (X) u (x)) / (v (x)) ^ 2) *

#U '(x) = X'-3' #

#COLOR (crveno) (u "(x) = 1) #

#v (x) * je složena funkcija pa moramo primijeniti pravilo lanca

pustiti #G (x) = x ^ 2 # i delta H (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) *

#COLOR (crveno) (v (x) = g '(h (x)) * h' (x)) *

#G "(x) = 2x # zatim

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

# h "(x) = 1 #

#COLOR (crveno) (v (x) = g '(h (x)) * h' (x)) *

#COLOR (crveno) (v (x) = 2 (x-4) *

#COLOR (plava) (f (x) = (u '(x) v (x) -V' (X) u (x)) / (v (x)) ^ 2) *

#F "(x) = (1 x (x-4) ^ 2-2 (x-4), (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#F "(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4), (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#F "(x) = ((x-4), (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#F "(x) = ((x-4), (x-6 + 4-2x)) / (x-4) ^ 4 #

#F "(x) = ((x-4), (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

pojednostavljenje zajedničkog faktora # x-4 # između brojnika i nazivnika

#COLOR (plava) (f (x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) *

Jer tangenta prolazi kroz točku # X = 5 # tako da možemo pronaći vrijednost nagiba # S # zamjenom # X = 5 # u # f '(x) #

#COLOR (narančasto) (a-f "(5)) *

#A = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# A = -3/1 ^ 3 #

#COLOR (narančasto) (a = -3) #

S obzirom na apscisu točke tangencije #COLOR (smeđe) (x = 5) # omogućuje

omogućuje pronalaženje svoje ordinate # Y = f (5) *

#COLOR (smeđe) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# Y-2/1 #

#COLOR (smeđe) (y = 2) #

Imajući koordinate tangentne točke #COLOR (smeđe) ((5, 2)) * i nagib #COLOR (narančasto) (a = -3) # omogućuje pronalaženje #COLOR (ljubičasta) (b) #

omogućuje zamjenu svih poznatih vrijednosti u jednadžbi tangentne linije kako bi se pronašla vrijednost #COLOR (ljubičasta) (b) #

#COLOR (smeđe) (y) = boja (narančasta) (a) u boji (smeđe) (x) + boje (ljubičasta) (b) #

# 2 = 3 (5) + boja (ljubičasta) (b) #

# 2 = -15 + boje (ljubičasta (b) #

# 17-boje (ljubičasta) (b) #

dakle, jednadžba tangentne linije na točki #COLOR (smeđe) ((5, 2)) * je:

# Y = -3x + 17 #