Zašto je ispunjavanje kvadrata korisno? + Primjer

Odgovor:

Da bi se pojednostavili kvadratni izrazi tako da postanu rješivi kvadratnim korijenima.

Obrazloženje:

Dovršenje kvadrata primjer je Tschirnhausove transformacije - upotrebe supstitucije (iako implicitno) kako bi se polinomska jednadžba svela na jednostavniji oblik.

Tako dano:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # s #a! = 0 #

mogli bismo pisati:

# 0 = 4a (sjekira ^ 2 + bx + c) #

# boja (bijela) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (bijelo) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (bijelo) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (bijelo) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (bijelo) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Stoga:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Tako:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Počevši s kvadratnom jednadžbom u obliku:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

dobili smo ga u obliku # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # s #t = (2ax + b) # i # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminirajući linearni izraz ostavljajući samo kvadrate.

Sve dok smo sretni što izračunamo kvadratne korijene, sada možemo riješiti bilo koju kvadratnu jednadžbu.

Dovršenje kvadrata također je korisno za dobivanje jednadžbe kruga, elipse ili drugog koničnog dijela u standardni oblik.

Na primjer, s obzirom na:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

dovršavanjem kvadrata nalazimo:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

dopuštajući nam da identificiramo ovu jednadžbu kao onu kruga sa središtem #(2, -3)# i radijus #5#.