Koji je raspon funkcije f (x) = 1 / (4 sin (x) + 2)?

Odgovor:

Raspon je #R = (-infty, -1/2) uu 1/6, + infty #

Obrazloženje:

Imajte na umu da je nazivnik nedefiniran kad god

# 4 sin (x) + 2 = 0 #, to jest, kad god

#x = x_ (1, n) = pi / 6 + n 2pi #

ili

#x = x_ (2, n) = (5 pi) / 6 + n 2pi #, gdje #n u ZZ # (# # N je cijeli broj).

Kao #x# pristupi #x_ (1, n) # Od ispod, #F (x) * pristupi # - infty #, a ako #x# pristupi #x_ (1, n) # od tada #F (x) * pristupi # + Infty #, To je gotovo zbog podjele #-0# ili #+0#'.

Za #x_ (2, n) # situacija je obrnuta. Kao #x# pristupi #x_ (2, n) # Od ispod, #F (x) * pristupi # + Infty #, a ako #x# pristupi #x_ (2, n) # od tada #F (x) * pristupi # -Infty #.

Dobivamo niz intervala u kojima #F (x) * je kontinuirana, kao što se može vidjeti na radnji. Prvo razmotrite "zdjele" (na čijim je krajevima funkcija dospjela # + Infty #). Ako možemo pronaći lokalne minime u tim intervalima, to znamo #F (x) * preuzima sve vrijednosti između ove vrijednosti i # + Infty #, Isto možemo učiniti i za "naopačke zdjele" ili "kape".

Napominjemo da se najmanja pozitivna vrijednost dobiva kad god nazivnik bude #F (x) * je što je moguće veći, to jest kada #sin (x) = 1 #, Stoga zaključujemo da je najmanja pozitivna vrijednost #F (x) * je #1/(4*1 + 2) = 1/6#.

Na sličan način se utvrđuje i najveća negativna vrijednost #1/(4*(-1) + 2) = -1/2#.

Zbog kontinuiteta #F (x) * u intervalima između diskontinuiteta i teorema o srednjoj vrijednosti možemo zaključiti da je raspon #F (x) * je

#R = (-infty, -1/2) uu 1/6, + infty #

Tvrde zagrade znače da je broj uključen u interval (npr. #-1/2#), dok meke zagrade znače da broj nije uključen.

graf {1 / (4sin (x) + 2) -10, 10, -5, 5}