Kako integrirati int sec ^ -1x putem integracije po metodi dijelova?

Odgovor:

Odgovor je # = X "luk" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Obrazloženje:

Trebamo

# (S ^ -1x) '= ("luk" secx) = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) #

# Intsecxdx = ln (sqrt (x ^ 2-1) + x) #

Integracija po dijelovima je

# Intu'v = UV-intuv "#

Evo, imamo

# U = 1 #, #=>#, # U = x #

# V = "luk" # secx, #=>#, # V = 1 / (xsqrt (x ^ 2-1)) *

Stoga, #int "luk" secxdx = x "luk" secx-int (dx) / (sqrt (x ^ 2-1)) *

Izvedite drugi integral pomoću zamjene

pustiti # X = Sekua #, #=>#, # Dx = secutanudu #

#sqrt (x ^ 2-1) = sqrt (sec ^ 2u-1) = tanu #

# Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (secutanudu) / (tanu) = intsecudu #

# = Int (Sekua (Sekua + tanu) du) / (+ Sekua tanu) #

# = int ((sek ^ 2u + sekutanu) du) / (secu + tanu) #

pustiti # V = Sekua + tanu #, #=>#, # Dv = (s ^ 2u + secutanu) du #

Tako, # Intdx / sqrt (x ^ 2-1) = int (dv) / (v) = LNV #

# = U (+ Sekua tanu) #

# = Ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) #

Konačno, #int "luk" secxdx = x "luk" secx-ln (x + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Odgovor:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #

Obrazloženje:

Alternativno, možemo upotrijebiti malo poznatu formulu za razradu integrala inverznih funkcija. Formula navodi:

#int f ^ -1 (x) dx = xf ^ -1 (x) -F (f ^ -1 (x)) + C #

gdje # F ^ 1 (x) * je inverzna #F (x) * i #F (x) * je anti-derivat od #F (x) *.

U našem slučaju dobivamo:

#int sec ^ -1 (x) dx = xsec ^ -1 (x) -F (sec ^ -1 (x)) + C #

Sve što trebamo raditi je anti-derivat # F #, koji je poznati sekantni integral:

#int (x) dx = ln | sec (x) + tan (x) | + C #

Ponovno uključivanje ove formule u formulu daje naš konačni odgovor:

#int # ^ (x) dx = xsec ^ -1 (x) -ln | sec (sec ^ -1 (x)) + tan (sec ^ -1 (x)) | + C #

Moramo paziti na pojednostavljenje #tan (sec ^ 1 (x)) * do #sqrt (x ^ 2-1) # jer identitet vrijedi samo ako #x# je pozitivan. Sretni smo, međutim, jer to možemo riješiti stavljanjem apsolutne vrijednosti na drugi termin unutar logaritma. To također uklanja potrebu za prvom apsolutnom vrijednošću, budući da će sve unutar logaritma uvijek biti pozitivno:

# Xsec ^ 1 (x) -ln (| x | + sqrt (x ^ 2-1)) + C #