Kako dokazati da je serija konvergirana?

Odgovor:

Pretvara se pomoću testa izravne usporedbe.

Obrazloženje:

Možemo koristiti Test izravne usporedbe, koliko znamo

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) *, IE, serija počinje u jednoj.

Da bismo koristili Test izravne usporedbe, to moramo dokazati # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # je pozitivan na # 1, oo) #.

Prvo, zapamtite to na intervalu # 1, oo), cos (1 / k) # je pozitivan. Za vrijednosti od #x # Cosx # je u prvom kvadrantu (i stoga pozitivno). Pa, za #k> = 1, 1 / k tako, #cos (1 / k) # je doista pozitivan.

Nadalje, možemo reći #cos (1 / k) <1 #, kao #lim_ (k-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Zatim možemo definirati novi slijed

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # za sve # K. #

Dobro, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Mi to znamo konvergira # P #serijski test, nalazi se u obliku # Sum1 / k ^ p # gdje # P = 2> 1 #.

Zatim, budući da se veća serija konvergira, moraju biti i manje serije.

Odgovor:

Konvergira se izravnim testom usporedbe (za detalje pogledajte u nastavku).

Obrazloženje:

Prepoznajte da je raspon kosinusa -1,1. Pogledajte grafikon od #cos (1 / x) *:

graf {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Kao što možete vidjeti maksimum vrijednost će se postići će biti 1. Budući da smo samo pokušavate dokazati konvergencije ovdje, neka je postaviti brojnik na 1, ostavljajući: t

# Sum1 / (9k ^ 2) *

Sada, to postaje vrlo jednostavan problem usporednog testiranja. Sjetite se što čini test izravne usporedbe:

Razmotrimo proizvoljan niz # A_n # (ne znamo konvergira li / divergira) i niz za koji znamo konvergenciju / divergenciju, # B_n #:

Ako #b_n> a_n # i # B_n # konvergira # A_n # također konvergira.

Ako #b_n <a_n # i # B_n # zatim se razlikuje # A_n # također se razlikuje.

Možemo usporediti ovu funkciju s #b_n = 1 / k ^ 2 #, To možemo učiniti jer znamo da se konvergira (zbog p-testa).

Dakle, od # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, i # 1 / k ^ 2 # konvergira, možemo reći da je serija konvergira

Ali, čekamo, samo smo dokazali da se ova serija konvergira kada je brojnik = 1. Što je sa svim ostalim vrijednostima #cos (1 / k) # može uzeti? Pa, zapamtite da je 1 maksimum vrijednost koju bi brojnik mogao uzeti. Dakle, budući da smo dokazali da to konvergira, posredno smo dokazali da se ova serija konvergirala za bilo koju vrijednost u brojniku.

Nadam se da je to pomoglo:)