Kako pronaći binomna ekspanzija za (2x + 3) ^ 3?

Odgovor:

# (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Obrazloženje:

Sa Pascalovim trokutom lako je pronaći svako binomno proširenje:

Svaki izraz ovog trokuta rezultat je zbroja dvaju pojmova na vrhu. (primjer crvenim)

#1#

#1. 1#

# boja (plava) (1. 2. 1) #

# 1. boja (crvena) 3. boja (crvena) 3. 1 #

# 1. 4. boja (crvena) 6. 4. 1 #

…

Više, svaka linija ima informaciju o jednom binomnom proširenju:

Prvi redak, za snagu #0#

Drugi, za moć #1#

Treći, za moć #2#…

Na primjer: # (A + b) ^ 2 # treću liniju koristit ćemo plavom bojom nakon proširenja:

# (a + b) ^ 2 = boja (plava) 1 * a ^ 2 * b ^ 0 + boja (plava) 2 * a ^ 1 * b ^ 1 + boja (plava) 1 * a ^ 0 * b ^ 2 #

Zatim: # (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Za moć #3#:

# (a + b) ^ 3 = boja (zelena) 1 * a ^ 3 * b ^ 0 + boja (zelena) 3 * a ^ 2 * b ^ 1 + boja (zelena) 3 * a ^ 1 * b ^ 2 + boja (zelena) 1 * a ^ 0 * b ^ 3 #

Zatim # (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #

Dakle ovdje imamo #COLOR (crveno) (a = 2 x) # i #COLOR (plava) (b-3) *:

I # (2x + 3) ^ 3 = boja (crvena) ((2x)) ^ 3 + 3 * boja (crvena) ((2x)) ^ 2 * boja (plava) 3 + 3 * boja (crvena) ((2x)) * boja (plava) 3 ^ 2 + boja (plava) 3 ^ 3 #

Stoga: # (2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Odgovor:

# (2x + 3) ^ 3 ^ 3 = 8 x + 36x ^ 2 + 54x + 27 #

Obrazloženje:

# (2x + 3) ^ 3 #

Koristite kocku metode suma, u kojoj # (A + b) 3 ^ a ^ = 3 + 3a ^ 2b + R3NB ^ 2 + b ^ 3 #.

# A = 2 x; # # B = 3 #

# (2x + 3) ^ 3 = (2 x) ^ 3 + (3 x 2 x ^ 2 * 3) + (3 x 2 x * 3 ^ 2) + 3 ^ 3 # =

# ^ 3 8x + (3x 4x ^ 2 * 3) + (3 x 2 x * 9) + 27 # =

# ^ 3 8x + (9 * 4x ^ 2) + (27 * 2 x) + 27 # =

# 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 #