Zašto trebate pronaći trigonometrijski oblik kompleksnog broja?

Ovisno o tome što trebate učiniti sa svojim kompleksnim brojevima, trigonometrijski oblik može biti vrlo koristan ili vrlo trnovit.

Na primjer, dopustite # Z_1 = 1 + i #, # Z_2 = sqrt (3) + i # i # z_3 = -1 + i sqrt {3} #.

Izračunajmo dva trigonometrijska oblika:

# Theta_1 = arctan (1) = pi / 4 # i # Rho_1 = sqrt {1 + 1 =} SQRT {2} #

# Theta_2 = arctan (1 / sqrt {3}) = pi / 6 # i # Rho_2 = sqrt {3 + 1 = 2} #

# theta_3 = pi + arctan (-sqrt {3}) = 2/3 pi # i # Rho_3 = sqrt {3 + 1 = 2} #

Tako su trigonometrijski oblici:

# z_1 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) #

# z_2 = 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) #

# z_3 = 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

Dodatak

Recimo da želite izračunati # Z_1 + z_2 + z_3 #, Ako koristite algebarski oblik, dobivate

# z_1 + z_2 + z_3 = (1 + i) + (sqrt {3} + i) + (- 1 + i sqrt {3}) = sqrt {3} + i (2 + sqrt {3}) #

Vrlo jednostavno. Sada pokušajte s trigonometrijskim oblikom …

# z_1 + z_2 + z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) + 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) + 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) #

ispada da je najkraći način da se dodaju ova dva izraza da se riješe kosinusi i sinusi, što znači … pretvaranje u algebarski oblik!

Algebarski oblik je često najbolji oblik izbora u dodavanju kompleksnih brojeva.

Množenje

Sada pokušavamo izračunati # Z_1 * z_2 * z_3 #, Korištenje algebarskih oblika zahtijeva mnogo dosadnih izračuna. Ali rješavanje ovog proizvoda s trigonometrijskim oblicima je jednostavnije:

# z_1 * z_2 * z_3 = sqrt {2} (cos (pi / 4) + i sin (pi / 4)) * 2 (cos (pi / 6) + i sin (pi / 6)) * 2 (cos (2/3 pi) + i sin (2/3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (pi / 4 + pi / 6 + 2/3 pi) + i sin (pi / 4 + pi / 6 + 2) / 3 pi)) = 4 sqrt {2} (cos (13/12 pi) + i sin (13/12 pi)) #

Sastojci koji dokazuju da druga jednakost vrijedi dolaze iz trigonometrije: dva formule za dodavanje

#sin (alfa + beta) = sin (alfa) cos (beta) + sin (beta) cos (alfa) #

#cos (alfa + beta) = cos (alfa) cos (beta) -sin (alfa) sin (beta) #

Množenje složenih brojeva još je čišće (ali konceptualno nije lakše) u eksponencijalnom obliku.

U nekom smislu, trigonometrijski oblik je svojevrsni međupovezan oblik između algebarskih i eksponencijalnih oblika. Trigonometrijski oblik je način prebacivanja između ova dva. U tom smislu to je neka vrsta "rječnika" za "prevođenje" oblika.