Što je GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Odgovor:

Najveći zajednički djelitelj #2^32-2^24+2^16-2^8+1# i #2^8+1# je #1#

Obrazloženje:

Imajte na umu da:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

je prost broj - zapravo jedan od nekoliko poznatih Fermatovih prostih brojeva.

Dakle, jedini mogući zajednički čimbenici #2^8+1# i #2^32-2^24+2^16-2^8+1# su #1# i #257#.

Međutim, kao što ste zabilježili u pitanju:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

ima oblik:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Jedan faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # od #2^40+1# odgovara stvarnom petom korijenu jedinstva i # (X + y) # nije automatski faktor preostale kvartice # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-oksi ^ 3 + y ^ 4 # čiji su ostali linearni čimbenici nerealan kompleks.

Možemo ručno podijeliti # X ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-oksi ^ 3 + y ^ 4 # po # X + y # da dobijete ostatak polinoma i zatim ga zamijenite # X = 2 ^ 8 # i # Y = 1 # provjeriti da ovo nije poseban slučaj …

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Dakle, ostatak je:

# 5y ^ 4 = 5 (boja (plava) (1)) ^ 4 = 5 #

Budući da ostatak nije nula, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# i #2^8+1# nemaju zajednički faktor veći od #1#.