Ako okrenete jednu kocku, koliki je očekivani broj valjaka potreban da se svaki broj jednom okrene?

Odgovor:

# 14.7 "role" #

Obrazloženje:

#P "sve brojeve bačene" = 1 - P "1,2,3,4,5, ili 6 nije bačeno" #

#P "A ili B ili C ili D ili E ili F" = P A + P B + … + P F - #

#P A i B - P A i C …. + P A i B i C + … #

# "Ovdje je ovo" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) -5 * (1/6) ^ (n-1) #

# "Negativnost je naša vjerojatnost."

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) sum a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = zbroj n * P "svi brojevi bačeni nakon n bacanja" #

# = zbroj n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Moramo oduzeti jedno zbog uvjeta početka P_1 (0)" #

# "daje pogrešnu vrijednost P = 1 za n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Odgovor:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Obrazloženje:

Razmislite o tome kao o šest mini-igara. Za svaku igru, vrtimo kocku dok ne preokrenemo broj koji još nije valjan - što ćemo nazvati "pobjedom". Zatim započinjemo sljedeću utakmicu.

pustiti #X# biti broj svitaka potrebnih za premotavanje svakog broja barem jednom (tj. pobijediti svih 6 mini-igara) i pustiti # X_i # biti broj svitaka potrebnih za "osvajanje" mini-igraćeg broja # I # (za # I # od 1 do 6). Onda svaki # X_i # je geometrijska slučajna varijabla s distribucijom # "Geo" (p_i) #.

Očekivana vrijednost svake geometrijske slučajne varijable je # 1 / p_i #.

Za prvu igru, # p_1 = 6/6 # budući da je svih 6 ishoda "novih". Tako, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Za drugu utakmicu, 5 od 6 rezultata su novi, tako da # P_2 = 5/6 #, Tako, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Za treću utakmicu, 4 od 6 mogućih role su nove, tako da # P_3 = 4/6 #, što znači # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

Do ove točke možemo vidjeti uzorak. Budući da se broj "pobjedničkih" uloga smanjuje za 1 za svaku novu igru, vjerojatnost "pobjede" u svakoj igri se smanjuje s #6/6# do #5/6#, onda #4/6#, itd., što znači da se očekuje očekivani broj role po utakmici #6/6# do #6/5#, na #6/4#, i tako dalje, sve do posljednje igre, gdje očekujemo da će uzeti 6 role da dobije zadnji broj.

Tako:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

# boja (bijela) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

# boja (bijela) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

# boja (bijela) ("E" (X)) = 1 + 1,2 + 1,5 + 2 + 3 + 6 #

# boja (bijela) ("E" (X)) = 14,7 #