Pitanje # 35a7e

Odgovor:

Kao što je spomenuto u komentarima ispod, ovo je serija MacLaurin za #f (x) = cos (x) #, a mi znamo da se to približava # (- oo, oo) #, Međutim, ako želite vidjeti proces:

Obrazloženje:

Budući da imamo faktorijale u nazivniku, koristimo mjerenje omjera, jer to pojednostavnjenja malo olakšava. Ova formula je:

#lim_ (n> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Ako je to <1, vaša se serija konvergira

Ako je to> 1, vaša se serija razilazi

Ako je to = 1, test je neuvjerljiv

Dakle, učinimo to:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) + (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) *

Napomena: Budite vrlo oprezni u načinu priključivanja (k + 1). 2k će se pretvoriti u 2 (k + 1), NE 2k + 1.

Pomnožio sam se s recipročnim # X ^ (2k) / ((2k)!) # umjesto dijeljenja samo da bi posao bio malo lakši.

Sada, neka je algebra. Zbog apsolutne vrijednosti, naši izmjenični izrazi (tj. # (- 1) ^ k #) samo će se otkazati, jer ćemo uvijek imati pozitivan odgovor:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Možemo otkazati naše # X ^ (2k) #„S:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Sada moramo poništiti faktore.

Sjetite se toga # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Također, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Obavijest:

# (2k)! = boja (crvena) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1) #

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * boja (crvena) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

Kao što možete vidjeti, mi # (2k)! # je u biti dio # (2k + 2)!, To možemo upotrijebiti za poništavanje svakog uobičajenog pojma:

# ((2k)!) / ((2k + 2)!) = Otkazati (boja (crvena) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * otkazivanje (boja (crvena) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1)) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Ovo ostavlja

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Sada možemo procijeniti ovo ograničenje. Imajte na umu da budući da ne uzimamo ovo ograničenje u odnosu na #x#, možemo to uzeti u obzir:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Dakle, kao što možete vidjeti, ovo ograničenje = 0, što je manje od 1. Sada se pitamo: postoji li vrijednost #x# za koje bi to ograničenje bilo 1? Odgovor je ne, jer sve što je pomnoženo s 0 je 0.

Dakle, od #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k))) <1 # za sve vrijednosti #x#, možemo reći da ima interval konvergencije. t # (- oo, oo) #.

Nadam se da je to pomoglo:)