Odgovor:
Učinite puno algebre nakon primjene definicije ograničenja kako biste pronašli da je nagib na # 3 x = # je #13#.
Obrazloženje:
Granica definicije izvedenice je:
#F "(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) f (x)) / h #
Ako ocijenimo ovo ograničenje za # 3x ^ 2-5x + 2 #, dobit ćemo izraz za derivat ove funkcije. Derivacija je jednostavno nagib tangentne linije u točki; tako ocjenjujući derivat na # 3 x = # će nam dati nagib tangente na # 3 x = #.
S time rečeno, započnimo:
#F "(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + H) + 2- (3 x ^ 2-5x + 2)) i / h #
#F "(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + H ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#F "(x) = lim_ (h-> 0) (otkazivanje (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-otkaza (5x) -5H + otkaza (2) (3 x -Cancel ^ 2) + otkaza (5 x) -Cancel (2)) i / h #
#F "(x) = lim_ (h-> 0) (+ 6hx 3h ^ 2-5h) / h #
#F "(x) = lim_ (h-> 0) (otkazivanje (h) (6x + 3h-5)) / otkazivanje (h) #
#F "(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Procjena tog ograničenja na # H = 0 #, #F "(x) = 6x + 3 (0) -5-6x-5 #
Sada kada imamo derivat, samo trebamo uključiti # 3 x = # pronaći tu nagib tangente:
#F '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Odgovor:
Pogledajte odjeljak objašnjenja ispod ako vaš učitelj / udžbenik koristi #lim_ (xrarra) (f (x) f (a)) / (X-a) #
Obrazloženje:
Neki prikazi računanja koriste, za defintioniranje nagiba linije tangenta na graf #F (x) * na mjestu gdje # x = a # je #lim_ (xrarra) (f (x) f (a)) / (X-a) # pod uvjetom da postoji ograničenje.
(Primjerice, 8. izdanje Jamesa Stewarta Račun 106. Na stranici 107, on daje ekvivalent #lim_ (hrarr0) (f (a + h) f (a)) / h #.)
S ovom definicijom, nagib tangentne linije na graf #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # na mjestu gdje # 3 x = # je
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) 2) / (x-3) *
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Imajte na umu da ova granica ima neodređeni oblik #0/0# jer #3# je nula polinoma u brojniku.
Od #3# je nula, to znamo # x-3 # je čimbenik. Tako možemo faktor, smanjiti i pokušati ponovno procijeniti.
# = lim_ (xrarr3) (poništi ((x-3)) (3x + 4)) / poništi ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Granica je #13#, tako da nagib tangente na # 3 x = # je #13#.
