Kako koristiti binomne serije za proširenje sqrt (1 + x)?

Odgovor:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = zbroj (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # s #x u CC #

Upotrijebite generalizaciju binomne formule za kompleksne brojeve.

Obrazloženje:

Postoji generalizacija binomne formule na kompleksne brojeve.

Čini se da je opća binomna formula # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) Z ^ k # s # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (prema Wikipediji). Primijenimo ga na tvoj izraz.

Ovo je moćni niz tako očito, ako želimo imati šanse da se to ne razlikuje, moramo postaviti #absx <1 # i ovako se širiš #sqrt (1 + x) * s binomnim serijama.

Neću pokazati da je formula istinita, ali nije preteška, samo trebate vidjeti da složenu funkciju definira # (1 + z) ^ r # je holomorfan na jediničnom disku, izračunati svaki njegov derivat na 0, što će vam dati Taylorovu formulu funkcije, što znači da je možete razviti kao seriju snaga na jediničnom disku jer #absz <1 #, stoga rezultat.

Koristeći +, -,:, * (morate koristiti sve znakove i smijete ih koristiti dva puta; također vam nije dopušteno koristiti zagrade), izvršite sljedeću rečenicu: 9 2 11 13 6 3 = 45?

9-2 * 11 + 13: 6 * 3 = 45 9-2 * 11 + 13: 6 * 3 = 45 Je li ovo izazov?

Kako mogu koristiti Pascalov trokut za proširenje (x + 2) ^ 5?

Pišete šesti red Pascalovog trokuta i napravite odgovarajuće zamjene. > Pascalov trokut je Brojevi u petom redu su 1, 5, 10, 10, 5, 1. Oni su koeficijenti pojmova u polinomu petog reda. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Ali naš polinom je (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32

Kako koristiti binomne serije za proširenje sqrt (z ^ 2-1)?

Sqrt (z ^ 2-1) = i [1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + ...] Prilično bih volio dvostruku provjeru jer kao student fizike rijetko dobiti iznad (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx za male x tako da sam malo zarđao. Binomna serija je specijalizirani slučaj binomnog teorema koji navodi da (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k S ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) ... (n-k + 1)) / (k!) Ono što imamo je (z ^ 2-1) ^ (1/2) , ovo nije ispravan oblik. Da to ispravimo, podsjetimo se da i ^ 2 = -1 tako da imamo: (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) je sada u ispravnom obliku s x = -z ^ 2 Stoga, ekspanzija će biti: i [1 -1 /