Kako koristiti binomne serije za proširenje sqrt (z ^ 2-1)?

Odgovor:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Obrazloženje:

Prilično bih volio dvostruku provjeru, jer kao student fizike rijetko prelazim # (1 + x) ^ n ~ ~ 1 + nx # za male x pa sam malo zarđao. Binomna serija je specijalizirani slučaj binomnog teorema koji to navodi

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

S # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Ono što imamo je # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, ovo nije ispravan oblik. Da to ispravimo, prisjetite se toga # i ^ 2 = -1 # tako imamo:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Ovo je sada u ispravnom obliku s #x = -z ^ 2 #

Stoga će ekspanzija biti:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #