Koja je vjerojatnost pobjede u sljedećoj beskrajno ponovljenoj igri?

Odgovor:

# "Odgovor D)" #

Obrazloženje:

# "To je jedini logičan odgovor, drugi su nemogući."

# "Ovo je problem propasti kockara."

# "Kockar počinje s k dolarima." #

# "Igra dok ne dostigne G dolar ili padne na 0."

#p = "šansa da osvoji 1 dolar u jednoj igri."

#q = 1 - p = "šansa da izgubi 1 dolar u jednoj igri."

# "Nazovite" r_k "vjerojatnost (šansu) da će biti uništen."

# "Onda imamo" # #

# r_0 = 1 #

#r_G = 0 #

#r_k = p * r_ {k + 1} + q * r_ {k-1}, "s" 1 <= k <= G-1 #

# "Možemo prepisati ovu jednadžbu zbog p + q = 1 na sljedeći način:" #

#r_ {k + 1} - r_k = (q / p) (r_k - r_ {k-1}) #

# => r_ {k + 1} - r_k = (q / p) ^ k (r_1 - r_0) #

# "Sada ovdje imamo slučaj" p = q = 1 / 2. #

# => r_ {k + 1} - r_k = r_1 - r_0 #

#r_G - r_0 = -1 = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_ {k + 1} - r_k) #

# = sum_ {k = 0} ^ {G-1} (r_1 - r_0) #

# => r_1 - r_0 = -1 / G #

# "Za" r_k "imamo" # #

#r_k - r_0 = sum_ {i = 0} ^ {k-1} (r_ {i + 1} - r_i) #

# = k * (r_1 - r_0) #

# = - k / G #

# => r_k = r_0 - k / G = 1 - k / G = (G - k) / G #

# "Dakle igrač A počinje ovdje s k = dolar i igra dok" # #

# "on je uništen ili ima + b dolar."

# => k = a, "i" G = a + b #

# "Tako da su izgledi da se uništi" #

# (G - k) / G = (a + b - a) / (a + b) = b / (a + b) #

# "Koeficijenti koje osvoji su" #

# 1 - b / (a + b) = a / (a + b) => "Odgovor D)" #