Molim pomoć. Nisam siguran kako to učiniti brzo bez množenja?

Odgovor:

Odgovor na (I) je #240#.

Odgovor na (Ii) je #200#.

Obrazloženje:

To možemo učiniti pomoću Pascalovog trokuta, prikazanog u nastavku.

(I)

Budući da je eksponent #6#, trebamo koristiti šesti red u trokutu, koji uključuje #color (ljubičasta) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # i #COLOR (ljubičasta) 1 #, U osnovi, koristit ćemo #COLOR (plava) 1 # kao prvi pojam i #COLOR (crveno) (2 x) * kao drugi. Zatim možemo stvoriti sljedeću jednadžbu. Eksponent prvog termina se povećava za #1# svaki put i eksponent drugog pojma smanjuje za #1# sa svakim izrazom iz trokuta.

# (Boja (ljubičasta) 1 * boja (plava) (1 ^ 0) * boja (crvena) ((2 x) ^ 6)) + (boja (ljubičasta) 6 * boja (plava) (1 ^ 1) * boja (crveni) ((2 x) ^ 5)) + (boja (ljubičasta) 15 * boja (plava) (1 ^ 2) * boja (crvena) ((2 x) ^ 4)) + (boja (ljubičasta) 20 * boja (plava) (1 ^ 3) * boja (crvena) ((2 x) ^ 3)) + (boja (ljubičasta) 15 * boja (plava) (1 ^ 4) * boja (crvena) ((2 x) ^ 2),) + (boja (ljubičasta) 6 * boja (plava) (1 ^ 5) * boja (crvena) ((2 x) ^ 1)) + (boja (ljubičasta) 1 * boja (plava) (1 ^ 6) * boja (crvena) ((2x) ^ 0)) #

Zatim ga možemo pojednostaviti.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 4 + 240x ^ 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Dakle, koeficijent od # X ^ 4 # je #240#.

(Ii)

Već znamo širenje # (1 + 2 x) ^ 6 #, Sada možemo pomnožiti ova dva izraza zajedno.

#COLOR (smeđe) (1-x (1/4)) * boja (narančasta) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 4 + 240x ^ 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Koeficijent #x# u # 1 x (1/4) # je #1#, Dakle, znamo da će podići vrijednosti eksponenta u drugom izrazu pomoću #1#, Zato što nam je potreban koeficijent od # X ^ 4 #, samo trebamo umnožiti # 160x ^ 3 # po # 1 x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Sada ga moramo dodati # 240x ^ 4 #, To je jedan dio rješenja # 240x ^ * 4 (1-x (1/4)) *, zbog množenja #1#, To je značajno jer ima i eksponenta #4#.

# -40x ^ 4 ^ 4 + 240x = 200x ^ 4 #

Dakle, koeficijent je #200#.

Odgovor:

ja. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Obrazloženje:

Binomna ekspanzija za # (A + bx) ^ C # može se predstaviti kao:

#sum_ (n = 0) C ^ (c!) / (n! (c-n!)) a ^ (c-n) (bx) ^ n #

Za prvi dio trebamo samo kada # N = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) ^ 1 (6-4) (2 x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) i 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * ^ 16x 4 #

# 240x ^ 4 #

Za drugi dio također trebamo # X ^ 3 # zbog termina # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) ^ 1 (6-3) (2 x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (X / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 ^ 4 + 240x = 200x ^ 4 #