Kako integrirati int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) dx pomoću trigonometrijske supstitucije?

Odgovor:

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #

Obrazloženje:

Rješenje je malo dugačko !!!

Iz danog #int 1 / sqrt (-e ^ (2x) -20e ^ x-101) * dx #

#int 1 / ((sqrt (-1) * sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

Zapamtite to # I = sqrt (1) # imaginarni broj

Odvojite to kompleksno mjesto neko vrijeme i nastavite do integrala

#int 1 / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101)) * dx #

popunjavanjem kvadrata i grupiranjem:

#int 1 / (sqrt ((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100-100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x) ^ 2 + 20e ^ x + 100) -100 + 101)) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2-100 + 101))) * dx #

#int 1 / (sqrt (((e ^ x + 10) ^ 2 + 1))) * dx #

Prva trigonometrijska supstitucija: ##

Oštar kut # # W sa suprotnom stranom # = E x ^ + 10 # i susjedna strana #=1# s hipotenuzom =#sqrt ((e ^ x + 10) ^ 2 + 1) #

pustiti # e ^ x + 10 = tanak w #

# e ^ x dx = sek ^ 2 w # # dw #

# dx = (sec ^ 2w * dw) / e ^ x #

i onda

# dx = (sec ^ 2w * dw) / tan (w-10) #

Integral postaje

#int 1 / sqrt (tan ^ 2w + 1) * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sqrt (sec ^ 2w) * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int 1 / sec w * (sek ^ 2w * dw) / (tan w-10) #

#int (secw * dw) / (tan w-10) #

iz trigonometrije #sec w = 1 / cos w # i #tan w = sin w / cos w #

Integral postaje

#int (1 / cos w * dw) / (sin w / cos w-10) # i

#int (dw) / (sin w-10 cos w) #

Druga trigonometrijska supstitucija:

pustiti # w = 2 tan ^ -1 z #

# Sm = 2 * dz / (1 + z ^ 2) *

I također # z = tan (w / 2) #

Pravi trokut: Oštar kut # M / 2 # s suprotne strane # = z #

Susjedna strana #=1# i hipotenuza # = sqrt (z ^ 2 + 1) #

Iz Trigonometrije: Pozivajući se na formule poluugla

#sin (w / 2) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

# z / sqrt (z ^ 2 + 1) = sqrt ((1-cos w) / 2 #

rješavanje #cos w #

#cos w = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) #

Također koristi identitet #sin ^ 2w = 1-cos ^ 2w #

to slijedi

#sin w = (2z) / (1 + z ^ 2) #

integral postaje

#int (dw) / (sin w-10 cos w) = int (2 * dz / (1 + z ^ 2)) / ((2z) / (1 + z ^ 2) -10 * (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2)) *

Pojednostavljenje integralnog rezultata na

#int (2 * dz) / (2z-10 + 10z ^ 2) #

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5-1) #

Ispunjavanjem kvadrata:

#int ((1/5) * dz) / (z ^ 2 + z / 5 + 1 / 100-1 / 100-1) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2-101 / 100) #

#int ((1/5) * dz) / ((z + 1/10) ^ 2- (sqrt101 / 10) ^ 2) #

Koristi formulu #int (du) / (u ^ 2-a ^ 2) = 1 / (2a) * ln ((u-a) / (u + a)) + C #

pustiti # U = z + 1/10 # i # A = sqrt101 / 10 # i uključujući natrag # I = sqrt (1) #

Konačni odgovor napišite pomoću izvornih varijabli

# -sqrt (101) / 101i * ln ((10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) +1)) + 1-sqrt101) / (10 ((e ^ x + 10) / (sqrt (e ^ (2x) + 20e ^ x + 101) 1)) + 1 + sqrt101)) + C #