Pitanje # 92256

Odgovor:

Vidi objašnjenje

Obrazloženje:

Podijelite ovo na dva dijela, prvo na unutarnji dio:

# E ^ x #

Ovo je pozitivno i povećava se za sve realne brojeve i ide od 0 do # Oo # kao #x# odlazi # -Oo # do # Oo #

Imamo:

#arctan (u) #

Ima desnu horizontalnu asimptotu na # Y = pi / 2 #, Odlazim # u = 0 rarr oo #, u # U = 0 # ova funkcija je pozitivna i povećava se nad tom domenom, ima vrijednost 0 at # U = 0 #, vrijednost od # Pi / 4 # na # U = 1 # i vrijednost # Pi / 2 # na # U = oo #.

Zbog toga se te točke privlače # X = -oo, 0, oo # respektivno i završavamo s grafom koji izgleda ovako kao rezultat:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1.5, 3}

Koji je pozitivan dio # Arctan # Funkcija se proteže preko cijele stvarne linije, a lijeva vrijednost se proteže u horizontalnu asimptotu na # Y = 0 #.

Odgovor:

Vidi objašnjenje

Obrazloženje:

Domena je # RR #

Simetrija

Ni u odnosu na #x# osi niti w.r.t izvor.

#arctan (e ^ (- x)) * ne pojednostavljuje #arctan (e ^ x) *

niti na # -Arctan (e ^ x) *

presreće

#x# presretnuti razgovori: nitko

Ne možemo dobiti #y = 0 # jer bi to zahtijevalo # e ^ x = 0 #

Ali # E ^ x # nikada nije #0#, to samo pristupa #0# kao # Xrarr-oo #.

Tako, # Yrarr0 # kao # Xrarr-oo # i #x# os osi vodoravna

asimptota s lijeve strane.

# Y # presresti: # Pi / 4 #

Kada # X = 0 #, dobivamo #y = arctan (1) = pi / 4 #

asimptota:

Okomito: nema

# Arctan # je između # -Piperidm- / 2 # i # Pi / 2 # po definiciji, nikada ne ide # Oo #

Vodoravno:

Lijevo: # Y = 0 # kao što je gore raspravljeno

Pravo: # Y = pi / 2 #

To znamo, kao # Thetararrpi / 2 # s #theta <pi / 2 #, dobivamo #tantheta rarr oo #

tako, kao # Xrarroo #, dobivamo # e ^ x rarroo #, Dakle # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Prvi derivat

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # nikada nije #0# i nikada nije definiran, tako da nema kritičnih brojeva.

Za svaki #x# imamo #y '> 0 # tako da se funkcija povećava # (- oo, oo) #

Nema lokalnih ekstrema.

Drugi derivat

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (E ^ x (1-e ^ (2 x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#Y '' # nikad nije nedefinirana, i to jest #0# na # X = 0 #

Znak od #Y '' #:

Na # (- oo, 0) #, dobivamo # e ^ (2x) <1 # tako #y ''> 0 # i graf je konkavan

Na # (0, oo) #, dobivamo # e ^ (2x)> 1 # tako #y '' <0 # i graf je konkavan prema dolje

Konkavnost se mijenja na # X = 0 #, tako da je točka prelamanja:

# (0, pi / 4) #

Sada skiciraj grafikon