Što je svojstveni vektor? + Primjer

Odgovor:

Ako je vektor # # V i linearna transformacija vektorskog prostora # S # su takve da #A (v) = k * v # (gdje je konstantna # K # Zove se svojstvena vrijednost), # # V naziva se svojstveni vektor linearne transformacije # S #.

Obrazloženje:

Zamislite linearnu transformaciju # S # istezanja svih vektora za faktor od #2# u trodimenzionalnom prostoru. Bilo koji vektor # # V bi se pretvorio u # 2v #, Stoga su za ovu transformaciju svi vektori vektori s svojstvena vrijednost od #2#.

Razmotrimo rotaciju trodimenzionalnog prostora oko Z-osi za kut od # 90 ^ O #, Očito, svi vektori osim onih duž Z-osi će promijeniti smjer i stoga ne mogu biti vektori, Ali ti vektori duž Z-osi (njihove koordinate su oblika # 0,0, z #) će zadržati svoj smjer i duljinu, dakle jesu vektori s svojstvena vrijednost od #1#.

Konačno, razmotrite rotaciju za # 180 # ^ o u trodimenzionalnom prostoru oko Z-osi. Kao i prije, svi vektori duge Z-osi neće se mijenjati, tako da su vektori s svojstvena vrijednost od #1#.

Osim toga, svi vektori u XY-ravnini (njihove koordinate su oblika # X, y, 0 #) će promijeniti smjer u suprotno, zadržavajući duljinu. Stoga su i oni vektori s svojstvene vrijednosti od #-1#.

Bilo koja linearna transformacija vektorskog prostora može se izraziti kao umnožavanje vektora pomoću matrice. Na primjer, prvi primjer istezanja opisan je kao množenje matricom # S #

| 2 | 0 | 0 |

| 0 | 2 | 0 |

| 0 | 0 | 2 |

Takva matrica, pomnožena s bilo kojim vektorom # V = {x, y, z} # će proizvesti # A * v = {2x, 2y, 2z} #

To je očito jednako # 2 x v #, Dakle, imamo

# A * v = 2 * v #, što dokazuje da je bilo koji vektor # # V je svojstveni vektor s svojstvena vrijednost #2#.

Drugi primjer (rotacija za # 90 ^ O # oko Z-osi) može se opisati kao množenje matricom # S #

| 0 | -1 | 0 |

| 1 | 0 | 0 |

| 0 | 0 | 1 |

Takva matrica, pomnožena s bilo kojim vektorom # V = {x, y, z} # će proizvesti # A * v = {- y, x, z} #, koji mogu imati isti smjer kao izvorni vektor # V = {x, y, z} # samo ako # X = y = 0 #, tj. ako je izvorni vektor usmjeren duž osi Z.