Pitanje # 53a2b + Primjer

Odgovor:

Ova definicija udaljenosti je nepromjenjiva s promjenom inercijalnog okvira i stoga ima fizičko značenje.

Obrazloženje:

Prostor Minkowskog konstruiran je kao 4-dimenzionalni prostor s koordinatama parametara # (X_0, x_1, x_2, x_3, x_4) #, gdje obično kažemo # X_0 = ct #, U srži posebne relativnosti imamo Lorentzove transformacije, koje su transformacije iz jednog inercijalnog okvira u drugi koji ostavljaju brzinu svjetlosti nepromjenjivom. Neću ulaziti u potpunu izvedbu Lorentzovih transformacija, ako želite da vam to objasnim, samo pitajte, a ja ću ići detaljnije.

Ono što je važno je sljedeće. Kada pogledamo euklidski prostor (prostor u kojem imamo običnu definiciju duljine na koju smo navikli # ds ^ 2-dx_1 ^ 2 + 2 + dx_2 ^ dx_3 ^ 2 #), imamo određene transformacije; prostorne rotacije, prijevodi i zrcaljenja. Ako izračunamo udaljenost između dvije točke u različitim referentnim okvirima povezanim s tim transformacijama, nalazimo da je udaljenost ista. To znači da je Euklidova udaljenost nepromjenjiva pod ovim transformacijama.

Sada proširujemo taj pojam na 4-dimenzionalni prostor-vrijeme. Prije Einsteinsove teorije posebne relativnosti povezali smo inercijske okvire s Galilejevim transformacijama, koje su upravo zamijenile prostorne koordinate # X_i # po # X_i-v_it # za #iin {1,2,3} # gdje # V_i # je brzina promatrača u # I # smjeru u odnosu na izvorni okvir. Ta transformacija nije ostavila invarijantnu brzinu svjetlosti, ali je ostavila udaljenost induciranu linijskim elementom # ds ^ 2-dx_0 ^ 2 + 2 + dx_1 ^ dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 #, jednostavno zato što nema promjene vremenske koordinate, pa je vrijeme apsolutno.

Međutim, transformacija Galileja ne opisuje točno transformaciju jednog inercijalnog okvira u drugi, jer znamo da je brzina svjetlosti invarijantna pod pravilnim transformacijama koordinata. Stoga smo uveli Lorentzovu transformaciju. Euklidska udaljenost produžena do 4-dim-prostor-vremena kao što je učinjeno iznad nije invarijantna pod ovom Lorentzovom transformacijom, međutim, udaljenost inducirana # ds ^ 2--dx_0 ^ 2 + 2 + dx_1 ^ dx_2 ^ 2 + dx_3 ^ 2 # je, što nazivamo pravilnom udaljenosti. Dakle, iako je ta Euklidova udaljenost gdje Pitagorin teorem drži savršeno pristojna matematička struktura na 4 dimnom prostoru, ona nema nikakvo fizičko značenje, jer ovisi o promatraču.

Pravilna udaljenost nije ovisna o promatraču, stoga mu možemo dati fizičko značenje, to se postiže spajanjem lukova svjetske linije kroz prostor Minkowskog koristeći ovu udaljenost do prošlog vremena promatranog objekta koji putuje duž ove svjetske linije. Imajte na umu da ako ostavimo vrijeme fiksno, Pitagorin teorem još uvijek drži u prostornim koordinatama.

EDIT / ADDITIONAL EXPLANATION:

Prvobitna osoba koja je pitala za ovo pitanje me je zamolila da malo detaljnije razradim, napisao je: "Hvala. Ali, molim vas, možete li malo više objasniti posljednja dva para. U knjizi koju sam vidio su imali # S ^ 2-x ^ 2- (ct) ^ 2 #, Molimo objasnite: "U suštini, ono što imamo ovdje je dvodimenzionalna verzija onoga što sam gore opisao. Imamo opis prostor-vremena s jednom vremenskom i jednom prostornom dimenzijom. Na tome definiramo udaljenost, točnije normu (udaljenost od podrijetlo do točke) # S # pomoću formule # S ^ 2-x ^ 2- (ct) ^ 2 # gdje #x# je prostorna koordinata i # T # vremensku koordinatu.

Ono što sam učinio iznad je trodimenzionalna verzija ovoga, ali što je još važnije, koristila sam # (ds) ^ 2 # umjesto # s ^ 2 # (Dodao sam zagrade za pojašnjenje onoga što je na kvadrat). Ne ulazeći u detalje diferencijalne geometrije previše, ako imamo liniju koja povezuje dvije točke u prostoru, # DS # je duljina sitnog dijela linije, tzv. linijskog elementa. Preko 2D verzije onoga što sam napisao gore, imamo # ds ^ 2--dx_0 ^ 2 + dx_1 ^ 2 #, koji povezuje duljinu ovog sitnog komada s malom promjenom u koordinatama. Da biste izračunali udaljenost od mjesta porijekla do točke # X_0 = a, b = x_1 # u prostor-vremenu izračunavamo duljinu pravca koji ide od početka do te točke, te je ta linija dana # X_0 = a / bx_1 # gdje # X_1in 0, b #, napomenuli smo to # Dx_0 = a / bdx_1 #, Dakle # ds ^ 2 = (1-a ^ 2 / b ^ 2) ^ 2 # dx_1, Dakle # DS = sqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) dx_1 #koje možemo integrirati, davati # E = int_0 ^ bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = dx_1 bsqrt (1-a ^ 2 / b ^ 2) = sqrt (b ^ 2-a ^ 2) *.

Stoga # S ^ 2-b ^ 2-a ^ 2-x_1 ^ 2-x_0 ^ 2-x ^ 2- (ct) ^ 2 # u # (T, x) * koordinate.

Dakle, ono što sam napisao iznad daje ono što ste pročitali u knjizi. Međutim, verzija retka omogućuje vam izračunavanje duljine bilo kojeg retka, a ne samo pravih linija. Priča o Lorentzovoj transformaciji i dalje ima tu normu # S # je nepromjenljiva pod promjenom referentnog okvira, dok # 2 x ^ + (ct) ^ 2 # nije.

Činjenica da Pitagorin teorem ne drži nije iznenađujuća. Pitagorin teorem vrijedi u euklidskoj geometriji. To znači da je prostor u kojem radite ravan. Primjer prostora koji nisu ravni je površina kugle. Kada želite pronaći udaljenost između dvije točke na ovoj površini, uzmite duljinu najkraćeg puta preko ove površine povezujući ove dvije točke. Ako biste na toj površini konstruirali pravokutni trokut, koji bi izgledao vrlo različito od trokuta u euklidskom prostoru, budući da linije ne bi bile ravne, Pitagorin teorem uopće ne drži.

Druga važna značajka euklidske geometrije je da kada postavite koordinatni sustav na taj prostor, svaka koordinata obavlja istu ulogu. Možete rotirati osi i završiti s istom geometrijom. U gornjoj geometriji Minkowskog sve koordinate nemaju istu ulogu, budući da vremenske osi u jednadžbama imaju znak minus, a ostale nemaju. Ako ovaj minus znak nije postojao, vrijeme i prostor imali bi sličnu ulogu u prostor-vremenu, ili barem u geometriji. Ali znamo da prostor i vrijeme nisu isti.