Što je jednadžba parabole s fokusom na (5,3) i directrix od y = -12?

Odgovor:

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

Obrazloženje:

Definicija parabole navodi da sve točke na paraboli uvijek imaju istu udaljenost od fokusa i directrix.

Možemo dopustiti * P = (x, y) #, koji će predstavljati opću točku na paraboli, možemo dopustiti # F = (5,3) * predstavljaju fokus i # D = (x, -12) # predstavljaju najbližu točku na directrixu #x# je zato što je najbliža točka na directrixu uvijek ravno dolje.

Sada možemo postaviti jednadžbu s ovim točkama. Za izračunavanje udaljenosti koristit ćemo formulu za udaljenost:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) *

Možemo to primijeniti na naše točke kako bismo najprije dobili udaljenost između # P # i # F #:

#d_ (PF) = kvadratni korijen ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2), #

Onda ćemo srediti udaljenost između # P # i # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2), #

Budući da te udaljenosti moraju biti jednake jedna drugoj, možemo ih staviti u jednadžbu:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) *

Od trenutka # P # je u općem obliku i može predstavljati bilo koju točku na paraboli, ako možemo samo riješiti # Y # u jednadžbi ćemo ostati s jednadžbom koja će nam dati sve točke na paraboli, odnosno drugim riječima, to će biti jednadžba parabole.

Prvo ćemo izravnati obje strane:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2),) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2),) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Zatim možemo proširiti:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Ako stavimo sve na lijevu stranu i prikupimo slične izraze, dobit ćemo:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

što je jednadžba naše parabole.