Što je sqrt (3 + i) jednak u + bi obliku?

Odgovor:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

pretpostaviti # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Dakle, izjednačavamo stvarne i imaginarne dijelove:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Stoga #b = 1 / (2a) #, koju možemo zamijeniti u prvu jednadžbu da bismo dobili:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Pomnožite oba kraja do # 4a ^ 2 # dobiti:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Tako:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Iz kvadratne formule dobivamo:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Od #sqrt (10)> 3 #, Odaberi #+# znak za dobivanje stvarnih vrijednosti za # S #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

gdje # B # ima isti znak kao # S # od #b = 1 / (2a) #

Glavni kvadratni korijen nalazi se u Q1 #a, b> 0 #

To je:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Zapravo, ako #c, d> 0 # tada možemo slično prikazati:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) i #