Koja je opća formula za diskriminanta polinoma stupnja n?

Odgovor:

Pogledajte objašnjenje …

Obrazloženje:

Diskriminant polinoma #F (x) * stupnja # # N može se opisati u smislu determinante Sylvesterove matrice #F (x) * i #F "(x) * kako slijedi:

S obzirom na:

#f (x) = a_nx ^ n + a_ (n-1) x ^ (n-1) + … + a_1x + a_0 #

Imamo:

#f '(x) = na_ (n-1) x ^ (n-1) + (n-1) a_ (n-1) x ^ (n-2) + … + a_1 #

Matrica Sylvestera od #F (x) * i #F "(x) * je # (2n-1) xx (2n-1) # matrica formirana koristeći njihove koeficijente, slično sljedećem primjeru za # N = 4 # …

# ((a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0, 0), (0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, 0, a_4, a_3, a_2, a_1, a_1, a_0), (4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0, 0), (0,4a_4,3a_3,2a_2, a_1,0,0), (0, 0, 4a_4, 3a_3, 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 0, 4a_4,3a_3,2a_2, a_1)) #

Zatim diskriminant #Delta# dan je u smislu determinante Sylvesterove matrice po formuli:

#Delta = (-1) ^ (1 / 2n (n-1)) / a_nabs (S_n) #

Za # N = 2 # imamo:

#Delta = (-1) / a_2abs ((a_2, a_1, a_0), (2a_2, a_1,0), (0,2a_2, a_1)) = a_1 ^ 2-4a_2a_0 #

(što se u obrascu može smatrati prepoznatljivijim) #Delta = b ^ 2-4ac #)

Za # N = 3 # imamo:

#Delta = (-1) / a_3abs ((a_3, a_2, a_1, a_0, 0), (0, a_3, a_2, a_1, a_0), (3a_3, 2a_2, a_1, 0, 0), (0, 3a_3), 2a_2, a_1, 0), (0, 0, 3a_3, 2a_2, a_1)) #

#color (white) (Delta) = a_2 ^ 2a_1 ^ 2-4a_3a_1 ^ 3-4a_2 ^ 3a_0-27a_3 ^ 2a_0 ^ 2 + 18a_3a_2a_1a_0 #

Diskriminanti za kvadratne (# N = 2 #) i cubics (# N = 3 #) su najkorisniji u tome što vam točno govore koliko realnih, ponovljenih ili ne-stvarnih kompleksnih nula ima polinom.

Interpretacija diskriminanta za polinome višeg reda je više ograničena, ali uvijek ima svojstvo da je polinom ponovio nule ako i samo ako je diskriminantni nula.

#COLOR (bijeli) () #

Daljnje čitanje

Vidi