Kako odabrati dva broja za koje je zbroj njihovih kvadratnih korijena minimalan, znajući da je proizvod dva broja a?

Odgovor:

# x = y = sqrt (a) #

Obrazloženje:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "je minimalno" #

# "Mogli bismo raditi s Lagrangeovim množiteljem L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "Izvođenje prinosa:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(nakon množenja s x"! = "0") #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "Sada još moramo provjeriti x = 0." #

# "To je tada nemoguće kao x * y = 0." #

# "Dakle, imamo jedinstveno rješenje" #

# x = y = sqrt (a) #

Odgovor:

Pokušat ću vas provesti kroz metodu rješenja ispod.

Obrazloženje:

Što tražimo?

Dva broja. Dajmo im imena, #x# i # Y #.

Ponovno pročitajte pitanje.

Želimo da zbroj kvadratnih korijena bude minimalan.

To nam govori dvije stvari

(1) oba broja nisu negativna (kako bi se izbjegli imaginariji)

(2) Zanima nas vrijednost # Sqrtx + sqrty #

Ponovno pročitajte pitanje.

Također nam je rečeno da je proizvod #x# i # Y # je # S #.

Tko odabere # S #?

Općenito, ako vježba govori nešto o tome # S # ili # B # ili # C #, mi ih smatramo konstantama koje je dao netko drugi.

Tako nam se može reći "proizvod" #x# i # Y # je #11#'

ili "proizvod od." #x# i # Y # je #124#'.

Sve to moramo riješiti odjednom govoreći # Xy = a # za neku konstantu # S #.

Dakle, želimo napraviti # Sqrtx + sqrty # što je moguće manje # Xy = a # za neku konstantu # S #.

Ovo izgleda kao problem optimizacije i to je jedan. Stoga želim da funkcija jedne varijable minimizira.

# Sqrtx + sqrty # ima dvije varijable, #x# i # Y #

# Xy = a # također ima dvije varijable, #x# i # Y # (zapamtiti # S # je konstanta)

Tako #y = a / x #

Sada želimo minimizirati:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

Pronađite derivat, zatim kritični broj (eve) i testirajte kritične brojeve. Završi se pronalaženje # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

Kritično # Sqrta #

#f '(x) <0 # za #x <sqrta # i #f '(x)> 0 # za #x> sqrta #, Dakle #F (sqrta) # je minimum.

#x = sqrta # i #y = a / x = sqrta #

Odgovor:

# 2 korijen (4) (a) #

Obrazloženje:

To znamo #x_i> 0 # imamo

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ {frac {1} {n}} frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

zatim

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # zatim

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (x_1x_2) #

ali # x_1x_2 = a # zatim

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 root (4) (a) #