Koja je jednadžba linije koja je normalna za polarnu krivulju f (theta) = - 5theta - sin ((3theta) / 2-pi / 3) + tan ((theta) / 2-pi / 3) u theta = pi?

Odgovor:

Linija je #y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Obrazloženje:

Ovaj ogromni oblik jednadžbe izveden je kroz nešto dugotrajan proces. Najprije ću opisati korake po kojima će se izvoditi i izvoditi te korake.

Dobili smo funkciju u polarnim koordinatama, #F (theta) #, Možemo uzeti derivat, #F '(theta) #, ali da bismo zapravo pronašli pravac u kartezijanskim koordinatama, trebat ćemo # Dy / dx #.

Možemo pronaći # Dy / dx # pomoću sljedeće jednadžbe:

# dy / dx = (f '(theta) sin (theta) + f (theta) cos (theta)) / (f' (theta) cos (theta) - f (theta) sin (theta)) #

Zatim ćemo taj nagib umetnuti u standardni oblik kartezijanske linije:

#y = mx + b #

I umetnite kartezijske pretvorene polarne koordinate naše točke interesa:

#x = f (theta) cos (theta) #

#y = f (theta) sin (theta) #

Nekoliko stvari koje bi trebale biti odmah očite i spasit će nas od vremena. Uzimamo liniju tangentnu na točku #theta = pi #, Ovo znači to #sin (theta) = 0 # tako…

1) Naša jednadžba za # Dy / dx # će zapravo biti:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

2) Naše jednadžbe za kartezijanske koordinate naše točke postat će:

#x = -f (theta) #

#y = 0 #

Započinjući zapravo riješiti problem, naš prvi posao je pronalaženje #F '(theta) #, Nije teško, samo se dva jednostavna izvedenica s pravilom lanca primjenjuju na dva

#f '(theta) = -5 - 3/2 cos ((3pi) / 2 - pi / 3) + 1/2 sek ^ 2 (theta / 2 - pi / 3) #

Sada želimo znati #F (pi) #:

#f (pi) = -5pi - sin ((7pi) / 6) + tan (pi / 6) #

# = -5pi - 1/2 + 1 / sqrt3 #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) #

I #F "(pi) #…

#f '(pi) = -5 - 3/2 cos ((7pi) / 6) + 1/2 sek ^ 2 (pi / 6) #

# = -5 + (3sqrt3) / 4 + 2/3 #

# = (9sqrt3 - 52) / 12 #

S tim u ruci, spremni smo odrediti našu kosinu:

# dy / dx = f (pi) / (f '(pi)) #

# = (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3) * 12 / (9sqrt3 - 52) #

# = (6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52) #

Možemo ovo uključiti kao # M # u #y = mx + b #, Podsjetimo se da smo to ranije utvrdili # Y = 0 # i #x = -f (theta) #:

# 0 = - ((6 (1-10pi) + 4sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (2sqrt3)) + b #

# 0 = - ((3 (1-10pi) + 2sqrt3) / (9sqrt3 - 52)) ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) / (sqrt3)) + b #

# 0 = - ((sqrt3 (1-10pi) + 2) / (9sqrt3 - 52)) (sqrt3 (1 - 10pi) + 2) + b #

#b = ((sqrt3 (1 - 10pi) + 2) ^ 2) / (9sqrt3 - 52) #

Možemo kombinirati naše prethodno utvrđene # M # s našim novo određenim # B # dati jednadžbu za liniju:

#y = (6 - 60pi + 4sqrt (3)) / (9sqrt (3) -52) x + ((sqrt (3) (1 - 10pi) +2) ^ 2) / (9sqrt (3) - 52) #

Čestica je bačena preko trokuta s jednog kraja vodoravne baze i ispašu vrh pada na drugom kraju baze. Ako su alfa i beta osnovni kutovi, a theta je kut projekcije, Dokazati da tan theta = tan alfa + tan beta?

S obzirom da je čestica bačena s kutom projekcije theta preko trokuta DeltaACB s jednog od njegovih kraja A vodoravne baze AB postavljene duž X-osi i konačno pada na drugi kraj Bof baze, ispuštajući vrh C (x, y) Neka je u brzina projekcije, T je vrijeme leta, R = AB vodoravni raspon, a t vrijeme potrebno da čestica dosegne na C (x, y) Horizontalna komponenta brzine projekcije - > ucostheta Vertikalna komponenta brzine projekcije -> usintheta S obzirom na gibanje pod gravitacijom bez otpora zraka možemo zapisati y = usinthetat-1/2 gt ^ 2 ..... [1] x = ucosthetat ................... [2] kombinirajući [1] i [2] dobivam

Pokažite da, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Pogledajte dolje. Neka 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), ovdje r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2) ) -2) = 2cos (theta / 2) i tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) ili alfa = theta / 2 zatim 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) i možemo pisati (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n koristeći DE MOivreov teorem kao r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ n

Kako pretvoriti r = 3theta - tan theta u kartezijanski oblik?

X² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y> 0 Molimo pogledajte objašnjenje za druge dvije jednadžbe r = 3theta - tan (theta) Substitute sqrt (x² + y²) za r: sqrt (x² + y²) = 3 theta - tan (theta) Square obje strane : x² + y² = (3 theta - tan (theta)) ² Zamjena y / x za tan (theta): x² + y² = (3theta - y / x) ²; x! = 0 Zamijenite tan ^ -1 (y / x) za theta. NAPOMENA: Moramo se prilagoditi za theta koji se vraća funkcijom inverznog tangenta na temelju kvadranta: Prvi kvadrant: x² + y² = (3tan ^ -1 (y / x) - y / x) ²; x> 0, y> 0