Kako pronaći područje paralelograma s vrhovima?

Odgovor:

Za paralelogram # ABCD # područje je

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Obrazloženje:

Pretpostavimo da je naš paralelogram # ABCD # definirana je koordinatama četiriju vrhova - # X_A, y_A #, # X_B, y_B #, # X_C, y_C #, # X_D, y_D #.

Da bismo odredili područje našeg paralelograma, potrebna nam je dužina njegove baze # | AB | # i nadmorsku visinu # | DH | # iz vrha # D # do točke # H # na strani # AB # (to je, #DH_ | _AB #).

Prije svega, pojednostaviti zadatak, premjestimo ga na poziciju kada je njezin vrh # S # podudara s početkom koordinata. Područje će biti isto, ali izračun će biti lakši.

Dakle, izvršit ćemo sljedeću transformaciju koordinata:

# U = x-x_A #

# V = y-y_A #

Onda (# U, V #) koordinate svih vrhova bit će:

#A U_A = 0, = 0 V_B #

#B U_B = x_B-x_A, V_B = y_B-y_A #

#C U_C = x_C-x_A, V_C = y_C-y_A #

#D U_D = x_D-x_A, V_D = y_D-y_A #

Naš paralelogram sada je definiran s dva vektora:

# P = (U_B, V_B) # i # Q = (U_D, V_D) #

Odredite duljinu baze # AB # kao duljinu vektora # P #:

# | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) *

Dužina nadmorske visine # | DH | # može se izraziti kao # | AD | * sin (/ _ loše) #.

Duljina #OGLAS# je duljina vektora # # Q:

# | AD | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Kut #/_LOŠE# može se odrediti pomoću dva izraza za skalarni (točkasti) proizvod vektora # P # i # # Q:

# (P * q) = U_B * U_D + V_B * V_D = | p | * | q | * cos (/ _ LO) #

od kojeg

# cos ^ 2 (/ _ LO) = (+ U_B * U_D V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) + (2 ^ U_D + V_D ^ 2) #

# Sin ^ 2 (/ _ LO) = 1-cos ^ 2 (/ _ LO) = #

# = 1- (U_B * U_D + V_B * V_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) + (2 ^ U_D + V_D ^ 2) = #

# = (U_B * V_D-V_B * U_D) ^ 2 / (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Sada znamo sve komponente za izračun područja:

Baza # | AB | = sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2) *:

Visina # | DH | = sqrt (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) * | * U_A V_D-V_A * U_D | / sqrt (U_B ^ 2 + V_B ^ 2 * (U_D ^ 2 + V_D ^ 2) #

Područje je njihov proizvod:

#S = | AB | * | DH | = | U_B * V_D-V_B * U_D | #

Što se tiče izvornih koordinata, izgleda ovako:

#S = | (x_B-x_A) * (y_D-y_A) - (y_B-y_A) * (x_D-x_A) | #

Odgovor:

drugu raspravu

Obrazloženje:

Geometrijski dokaz

S obzirom na sliku

lako možemo utvrditi formulu za izračun površine paralelograma ABCD, kada su poznata sva tri vrha (npr. A, B, D).

Budući da dijagonalna BD paralelograma presijeca paralelogram u dva kongruentna trokuta.

Područje paralelograma ABCD

= 2 površina trokuta ABD

= 2 područje trapeznog BAPQ + područje zamke BQRD - područje zamke DAPR

=2# 1/2 (AP + BQ) PQ + 1/2 (BQ + DR) QR-1/2 (AP + DR) PR #

= # (Y_A + Y_B) (X_B-X_A) + (Y_B + Y_D) (X_D-X_B) - (Y_A + Y_D) (X_D-X_A) #

=# Y_AX_B + otkaži (Y_BX_B) -prekid (Y_AX_A) -Y_BX_A + Y_BX_D + otkaži (Y_DX_D) -prekid (Y_BX_B) -Y_AX_D-poništi (Y_DX_D) + poništi (Y_AX_A) + Y_DX_A #

=#Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) #

Ova formula će dati područje paralelograma.

Dokaz koji razmatra vektor

Također se može utvrditi s obzirom na to #vec (AB) # i# vec (AD) #

Sada

Vanjski vektor točke A w.r, t izvor O, #vec (OA) = X_Ahati + Y_Ahatj #

Vanjski vektor točke B w.r, t izvor O, #vec (OB) = X_Bhati + Y_Bhatj #

Vektor položaja točke D w.r, t izvor O, #vec (OD) = X_Dhati + Y_Dhatj #

Sada

Područje paralelograma ABCD

# = Baza (AD) * Visina (BE) = AD * h #

# = AD * ABsintheta = | vektorski (AD) Xvec (AB) | #

Opet

#vec (AD) = vektorski (OD) -vec (OA) = (X_D-X_A) Hati + (Y_D-Y_A) hatj #

#vec (AB) = vektorski (OB) -vec (OA) (= X_B-X_A) Hati + (Y_B-Y_A) hatj #

#vec (AD) #x#vec (AB) = (X_D-X_A) (Y_B-Y_A) - (X_B-X_A) (Y_D-Y_A) hatk #

Površina = # | VEC (AD) #x#vec (AB) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D + otkazati (Y_AX_A) -Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B-otkazati (Y_AX_A) | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_BX_D-Y_BX_A-Y_AX_D-Y_DX_B + Y_DX_A + Y_AX_B | #

=# | Y_A (X_B_X_D) + Y_B (X_D-XA) + Y_D (X_A-X_B) | #

Tako imamo istu formulu