Što je derivat y = (sinx) ^ x?

Odgovor:

# dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Obrazloženje:

Koristite logaritamsku diferencijaciju.

#y = (sinx) ^ x #

#lny = ln ((sinx) ^ x) = xln (sinx) # (Koristite svojstva # LN #)

Implicitno razlikovati: (koristiti pravilo o proizvodu i rubu lanca)

# 1 / y dy / dx = 1 ln (sinx) + x 1 / sinx cosx #

Dakle, imamo:

# 1 / y dy / dx = ln (sinx) + x cotx #

Riješite za # Dy / dx # množenjem s #y = (sinx) ^ x #, # dy / dx = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Odgovor:

# D / dx (sinx) ^ x = (ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Obrazloženje:

Najjednostavniji način da to vidite je:

# (Sinx) ^ x = e ^ (ln ((sinx) ^ x)) = e ^ (xln (sinx)) *

Uzimajući izvedenicu toga, daje se:

# D / dx (sinx) ^ x = (d / dxxln (sinx)) e ^ (xln (sinx)) *

# = (Ln (sinx) + xd / dx (ln (sinx))) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + x (d / dxsinx) / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcosx / sinx) (sinx) ^ x #

# = (Ln (sinx) + xcotx) (sinx) ^ x #

Sada moramo imati na umu da ako # (Sinx) ^ x = 0 #, #ln ((sinx) ^ x) # je nedefinirano.

Međutim, kada analiziramo ponašanje funkcije oko #x#za koje ovo vrijedi, otkrili smo da se funkcija ponaša dovoljno dobro da bi ovo funkcioniralo, jer, ako:

# (Sinx) ^ x # približava se 0

zatim:

#ln ((sinx) ^ x) # će pristupiti # -Oo #

tako:

# E ^ (ln ((sinx) ^ x)) # pristupit će i 0

Nadalje, napominjemo da ako #sinx <0 #, #ln ((sinx) ^ x) # će biti složeni broj; međutim, sve algebre i račun koji smo koristili rad u složenoj ravnini, kao dobro, tako da to nije problem.

Odgovor:

Općenitije …

Obrazloženje:

# d / dx f (x) ^ g (x) = g (x) / f (x) f '(x) + g' (x) ln (f (x)) f (x) ^ g (x) #