Pokažite da int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Odgovor:

Vidi objašnjenje

Želimo pokazati

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1

Ovo je prilično "ružan" integralni, tako da naš pristup neće biti rješavanje ovog integralnog, nego ga usporediti s "ljepšim" integralnim

To smo sada za sve pozitivne realne brojeve #COLOR (crveno) (sin (x) <x) *

Dakle, vrijednost integranga također će biti veća, za sve pozitivne realne brojeve, ako zamijenimo # X = sin (x) *, pa ako možemo pokazati

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1

Tada i naša prva izjava mora biti istinita

Novi integral je jednostavan problem zamjene

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ ^ 0 = 1 sqrt (2) -1 #

Posljednji korak je to primijetiti #sin (x) = x => x = 0 #

Stoga možemo zaključiti

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1