Koji su lokalni maksimumi i minimi f (x) = (x ^ 2) / (x-2) ^ 2?

Odgovor:

#F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ova funkcija ima vertikalnu asimptotu na # X = 2 #, pristupa #1# odozgo kad x ide na # + oo # (horizontalna asimptota) i pristupi #1# odozdo kad x ide na # -oo #, Svi derivati su nedefinirani na # X = 2 # također. Postoji jedan lokalni minimum u # X = 0 #, # Y = 0 # (Sva ta nevolja za podrijetlo!)

Imajte na umu da biste htjeli provjeriti moju matematiku, čak i najbolji od nas ispuštaju neobičan negativni znak i ovo je dugo pitanje.

Obrazloženje:

#F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 #

Ova funkcija ima vertikalnu asimptotu na # X = 2 #, jer je nazivnik nula kada # X = 2 #.

Pristupi #1# odozgo kad x ide na # + oo # (horizontalna asimptota) i pristupi #1# odozdo kad x ide na # -oo #, jer za velike vrijednosti # 2 x ^ '= (x-2) ^ 2 # s # 2 x ^> (x-2) ^ 2 # za #x> 0 # i # X ^ 2 '(x-2) ^ 2 # za #x <0 #.

Da bismo pronašli max / min trebamo prvi i drugi derivat.

# {d f (x)} / dx = d / dx (x ^ 2 / {(x-2) ^ 2}) # Koristite pravilo kvocijenta!

# {df (x)} / dx = ({(d / dx x ^ 2) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (d / dx (x-2) ^ 2)} / {(x-2)) ^ 4}) #.

Koristeći pravilo za ovlasti i pravilo lanca dobivamo:

# {d f (x)} / dx = {(2x) (x-2) ^ 2 - x ^ 2 (2 * (x-2) * 1)} / (x-2) ^ 4.

Sada smo malo uredni …

# {d f (x)} / dx = {2x (x ^ 2-4x + 4) - x ^ 2 (2x-4)} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {2x ^ 3-8x ^ 2 + 8x - 2x ^ 3 + 4x ^ 2} / (x-2) ^ 4 #

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 #

Sada drugi derivat, učinjen kao prvi.

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {d / dx (-4x ^ 2 + 8x) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (d / dx ((x -2) ^ 4))} / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3 * 1) } / (x-2) ^ 8 #

To je ružno, ali trebamo samo uključiti i zabilježiti gdje se loše ponašalo.

# {d f (x)} / dx = {-4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 # Ova funkcija nije definirana na # X = 2 #, ta asimptota, ali svuda izgleda dobro.

Želimo znati jesu li maks / min …

postavljamo # {d f (x)} / dx = 0 #

# {- 4x ^ 2 + 8x} / (x-2) ^ 4 = 0 # to je nula kada je brojnik nula i ako nazivnik nije.

# -4x ^ 2 + 8x = 0 #

# 4x (-x + 2) = 0 # ili # 4x (2 x) = 0 # Ovo je nula u # X = 0 # i # X = 2 #, ali ne možemo imati max / min da su izvedenice / funkcije nedefinirane, pa je jedina mogućnost # X = 0 #.

"drugi derivativni test"

Sada gledamo na drugu izvedenicu, ružnu kao što je …

# {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 = {(-8x + 8) (x-2) ^ 4 - (-4x ^ 2 + 8x) (4 (x-2) ^ 3)} / (x-2) ^ 8 #

Kao i funkcija i prvi derivat, to je nedefinirano na # X = 2 #, ali svugdje drugdje izgleda dobro.

Uključujemo # X = 0 # u # {d ^ 2 f (x)} / dx ^ 2 #

# {d ^ 2 f (0)} / dx ^ 2 = #

# {(-8*0 + 8)(0-2)^4 - (-4*0^2 + 8*0)(4*0-2)^3}/(0-2)^8 #

#= {(8)(-2)^4}/(2)^8 #, nije li nula tako lijep broj za uključivanje?

#=128/256# sve to #1/2#

#1/2 >0# tako # X = 0 # je lokalni minimum.

Da bismo pronašli vrijednost y, trebamo je uključiti u funkciju.

#F (x) = 0 ^ 2 / {(0-2) ^ 2} = 0 # Podrijetlo!