Koji su mogući racionalni korijeni x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Odgovor:

Ovaj kvintik nema racionalnih korijena.

Obrazloženje:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Prema racionalnoj korijenskoj teoremi, bilo kojoj nuli od #F (x) * su izraženi u obliku # P / q # za cijele brojeve #p, q # s # P # djelitelj konstantnog termina #-12# i # # Q djelitelj koeficijenta #1# vodećeg pojma.

To znači da je jedino moguće racionalan nule su:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Zapamtite to #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # ima sve negativne koeficijente. Stoga #F (x) * nema negativnih nula.

Tako je jedino moguće racionalan nule su:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Procjena #F (x) * za svaku od tih vrijednosti nalazimo da nijedna nije nula. Tako #F (x) * nema racionalan nule.

Zajedno s većinom kvintika i polinoma višeg stupnja, nule nisu izražene u smislu # # Nkorijene ili elementarne funkcije, uključujući trigonometrijske funkcije.

Možete koristiti numeričke metode kao što je Durand-Kerner da biste pronašli približne vrijednosti:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0.640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0,716229 + -0,587964i #