Koji je logaritam negativnog broja?

Logaritmi negativnih brojeva nisu definirani u realnim brojevima, kao što kvadratni korijeni negativnih brojeva nisu definirani u realnim brojevima. Ako se od vas očekuje da pronađete dnevnik negativnog broja, odgovor "nedefiniranog" je u većini slučajeva dovoljan.

To je Međutim, odgovor će biti složen broj. (broj obrasca #a + bi #, gdje #i = sqrt (-1) #)

Ako ste upoznati sa složenim brojevima i osjećate se ugodno raditi s njima, pročitajte dalje.

Prvo, počnimo s općim slučajem:

#log_b (-x) =? #

Koristit ćemo pravilo promjene osnovice i pretvoriti u prirodne logaritme kako bismo kasnije olakšali stvari:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Zapamtite to #ln (X) # ista je stvar kao i #ln (-1 * x) #, Možemo iskoristiti svojstvo dodatka logaritama i odvojiti taj dio u dva odvojena dnevnika:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Sada je jedini problem otkriti što #ln (1) # je. Može izgledati kao nemoguća stvar za procjenu na početku, ali postoji prilično poznata jednadžba poznata kao Eulerov identitet koji nam može pomoći.

Eulerova identitetna stanja:

# e ^ (ipi) = -1 #

Ovaj rezultat dolazi iz ekspanzija energetskih serija sinusa i kosinusa. (Neću to previše objasniti, ali ako ste zainteresirani, ovdje je lijepa stranica koja objašnjava nešto više)

Za sada jednostavno uzmimo prirodni dnevnik obiju strana Eulerovog identiteta:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

pojednostavljeno:

#ipi = ln (-1) #

Dakle, sada kad znamo što #ln (1) # je, možemo zamijeniti natrag u našu jednadžbu:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Sada imate formulu za pronalaženje dnevnika negativnih brojeva. Dakle, ako želimo procijeniti nešto slično # log_2 10 #, jednostavno možemo uključiti nekoliko vrijednosti:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #