Kako biste integrirali int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Odgovor:

Ovaj integral ne postoji.

Obrazloženje:

Od #ln x> 0 # u intervalu # 1, e #, imamo

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

ovdje, tako da integralni postaje

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Zamjena #ln x = u #, onda # dx / x = du # tako da

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

To je neispravan integral, budući da se integrand divergira na donjoj granici. To je definirano kao

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

ako postoji. Sada

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

budući da se to razlikuje u granici #l -> 0 ^ + #, integral ne postoji.

Odgovor:

# Pi / 2 #

Obrazloženje:

Integral # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) *.

Prvo zamijenite # U = u (x) * i # "D" u = ("d" x) / x #.

Dakle, imamo

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) *

Sada, zamjena # U = sin (v) * i # "D" u = cos (v) "d" v #.

Zatim, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) d "v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # od # 1 sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) *.

Nastavljamo, imamo

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0-pi / 2 #