Pitanje # 059f6

Odgovor:

#f (x) = sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (X- 1) ^ (2k + 1) #

Obrazloženje:

Taylorov razvoj funkcije # F # na # S # je #sum_ (i = 1) ^ (oo) f ^ ((n)) (a) / (n!) (xa) ^ n = f (a) + f '(a) (xa) + f ^ ((2)) (a) / (2) (xa) ^ 2 + ….

Imajte na umu da je to serija napajanja tako da se ne mora nužno približiti # F # ili čak konvergirati negdje drugdje nego u # x = a #.

Najprije trebamo derivate # F # ako želimo pokušati napisati pravu formulu njezine Taylorove serije.

Nakon računa i indukcijskog dokaza, možemo to reći #AAk u NN: f ^ ((2k)) (x) = (-1) ^ (k + 1) 2kcos (x-1) + (-1) ^ (k) xsin (x-1) # i #f ^ ((2k + 1)) (x) = (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) #.

Dakle, nakon nekih grubog i malog pojednostavljenja, čini se da je Taylorov niz # F # je #sum_ (k = 1) ^ oo (-1) ^ (k) (xsin (x-1) -2kcos (x-1)) / ((2k!)) (x-1) ^ (2k) + sum (k = 1) ^ oo (-1) ^ k ((2k + 1) sin (x-1) + xcos (x-1)) / ((2k + 1)!) (x-1) ^ (2k) 1) #.