Neka je vec (x) vektor, takav da je vec (x) = ( 1, 1), "i neka" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], to jest rotacija Operater. Za theta = 3 / 4pi pronađite vec (y) = R (theta) vec (x)? Napravite skicu koja prikazuje x, y i θ?

Pokazalo se da je to rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu. Možete li pogoditi koliko stupnjeva?

pustiti #T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # biti linearna transformacija, gdje

#T (vecx) = R (theta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Napominjemo da je ova transformacija predstavljena kao transformacijska matrica #R (theta) #.

Ono što znači je od tada # R # je rotacijska matrica koja predstavlja rotacijsku transformaciju, možemo umnožiti # R # po # Vecx # izvršiti ovu transformaciju.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >>

Za # MxxK # i # KxxN # matrica, rezultat je #COLOR (zeleno) (MxxN) # matrica, gdje # M # je red dimenzija i # N # je kolona dimenzija. To je:

# (y_ (11), y_ (12), …, y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12), …, R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (ml), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Stoga, za # 2xx2 # matrica pomnožena s a # 1xx2 #, moramo transponirati vektor da dobijemo a # 2xx1 # vektor stupca, dajući nam odgovor koji je a # Mathbf (2xx1) # vektor stupca.

Množenje ovih dvaju:

# (Costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1), #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Sljedeće, možemo uključiti #theta = (3pi) / 4 # (što pretpostavljam da je točan kut) za dobivanje:

# boja (plava) (T (vecx) = R (theta) vecx) #

# = R (theta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = boja (plava) ((0), (- sqrt2)) #

Sada grafički prikažimo kako to izgleda. Mogu reći da je to rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satunakon određivanja transformiranog vektora.

Doista, rotacija u smjeru suprotnom od kazaljke na satu za #135^@#.

IZAZOV: Možda možete razmotriti što se događa kada je matrica # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # umjesto toga. Mislite li da će biti u smjeru kazaljke na satu?