Najveća strana pravokutnog trokuta je ^ 2 + b ^ 2, a druga strana je 2ab. Koji će uvjet učiniti treću stranu najmanjom stranom?

Odgovor:

Da bi treća strana bila najkraća, zahtijevamo # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb # (i to # S # i # B # imati isti znak).

Obrazloženje:

Najduža strana pravog trokuta je uvijek hipotenuza. Dakle, znamo da je duljina hipotenuze # A ^ 2 + b ^ 2 #

Neka je dužina nepoznate strane # C. # Zatim iz Pitagorina teorema, znamo

# (2ab) ^ 2 + C ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #

ili

# c = sqrt ((a + b ^ 2 ^ 2) ^ 2- (2ab) ^ 2) *

#COLOR (bijeli) c = sqrt (a ^ 4 ^ 2a + 2b + b ^ 2 ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) *

#COLOR (bijeli) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #

#COLOR (bijeli) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) *

#COLOR (bijeli) c = a ^ 2-b ^ 2 #

Također zahtijevamo da sve duljine bočnih strana budu pozitivne

• # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #

  # => a! = 0 ili b! = 0 #

• # 2ab> 0 #

  # => a, b> 0 ili a, b <0 #

• # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #

  # <=> A ^ 2> b ^ 2 #

  # <=> Absa> absb #

Sada, za bilo koji trokut, najduža strana mora biti kraći od iznos s druge dvije strane. Dakle, imamo:

#color (bijela) (=>) 2ab + "" c (bijela) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #

# => 2ab boja (bijela) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #

# => {(a> b "," ako b> 0), (a <b "," ako b <0):} #

Nadalje, da bi treća strana bila najmanja, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #

ili # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # ili # a-b <sqrt2b # ili #a <b (1 + sqrt2) #

Kombinirajući sva ta ograničenja, možemo zaključiti da, da bi treća strana bila najkraća, moramo imati # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb i (a, b <0 ili a, b> 0).