Koji od sljedećih ima najveći broj stvarnih korijena?

Odgovor:

# x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 # s #4# pravi korijeni.

Obrazloženje:

Napominjemo da korijeni:

# ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 #

su podskup jedinstva korijena dviju jednadžbi:

# {(ax ^ 2 + bx + c = 0), (sjekira ^ 2-bx + c = 0):} #

Imajte na umu da ako jedna od tih dviju jednadžbi ima par pravih korijena onda to čini i drugi, budući da imaju isti diskriminantni:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-b) ^ 2-4ac #

Dalje zapamtite da ako #a, b, c # tada svi imaju isti znak # ax ^ 2 + b abs (x) + c # uvijek će uzeti vrijednosti tog znaka kada #x# je stvarna. Tako u našim primjerima, od # A = 1 #, možemo odmah primijetiti da:

# x ^ 2 + 3 abs (x) +2> = 2 #

tako da nema nula.

Pogledajmo ostale tri jednadžbe:

1) # x ^ 2-abs (x) -2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-x-2 = (x-2) (x + 1) => x u {-1, 2}), (0 = x ^ 2 + x-2 = (x +2) (x-1) => x u {-2, 1}):} #

Pokušavajući svaki od njih pronaći ćemo rješenja #x u {-2, 2} #

3) # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #

# {(0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) => x u {1, 2}), (0 = x ^ 2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) = x u {-1, -2}):} #

Pokušavajući svaku od njih, nalazimo da su sva rješenja izvorne jednadžbe, tj. #x u {-2, -1, 1, 2} #

Alternativna metoda

Zapamtite pravi korijeni # ax ^ 2 + b abs (x) + c = 0 # (gdje #c! = 0 #) su pozitivni stvarni korijeni # ax ^ 2 + bx + c = 0 #.

Stoga je pronalaženje koje od danih jednadžbi ima najviše stvarnih korijena ekvivalentno pronalaženju koji od odgovarajućih običnih kvadratnih jednadžbi ima najviše pozitivnih stvarnih korijena.

Kvadratna jednadžba s dva pozitivna stvarna korijena ima znakove u obrascu #+ - +# ili #- + -#, U našem primjeru prvi znak je uvijek pozitivan.

Od navedenih primjera, samo drugi i treći imaju koeficijente u obrascu #+ - +#.

Možemo odbaciti drugu jednadžbu # x ^ 2-2 abs (x) + 3 = 0 # budući da je njezin diskriminant negativan, ali za treću jednadžbu nalazimo:

# 0 = x ^ 2-3x + 2 = (x-1) (x-2) #

ima dva pozitivna stvarna korijena, popustljiva #4# korijeni jednadžbe # x ^ 2-3 abs (x) +2 = 0 #