Koji su ekstremi i sedlo točke f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Koji su ekstremi i sedlo točke f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
Anonim

Odgovor:

# {: ("Kritična točka", "Zaključak"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Obrazloženje:

Teorija kojom se identificiraju ekstremi # Z = f (x, y) # je:

  1. Rješavajte istovremeno kritične jednadžbe

    # (djelomična f) / (djelomična x) = (djelomična f) / (djelomična y) = 0 t (tj # Z_x = z_y = 0 #)

  2. procijeniti #f_ (x x), f_ (yy) i f_ (xy) (= f_ (yx)) # na svakoj od tih kritičnih točaka. Stoga procijenite # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # na svakoj od tih točaka
  3. Odredite prirodu ekstrema;

    # {: (Delta> 0, "Postoji minimum ako" f_ (xx) <0), (, "i maksimum ako" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "postoji sedlo")), (Delta = 0, "Potrebna je daljnja analiza"):} #

Dakle, imamo:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Nađimo prve djelomične derivate:

# (djelomični f) / (djelomični x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (djelomično f) / (djelomično y) = 2xy + 2y #

Naše kritičke jednadžbe su:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Iz druge jednadžbe imamo:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

subs # x = 1 # u Prvu jednadžbu i dobivamo:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

subs # Y = 0 # u Prvu jednadžbu i dobivamo:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

I tako jesmo četiri kritične točke s koordinatama;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Dakle, sada pogledajmo druge djelomične derivate tako da možemo odrediti prirodu kritičnih točaka:

(djelomično ^ 2f) / (djelomično x ^ 2) = 12x + 10 #

(djelomično ^ 2f) / (djelomično y ^ 2) = 2x + 2 #

# (djelomično ^ 2f) / (djelomični x djelomični y) = 2y (= (djelomični ^ 2f) / (djelomični y djelomični x)) #

I moramo izračunati:

# Delta = (djelomično ^ 2f) / (djelomično x ^ 2) (djelomično ^ 2f) / (djelomično y ^ 2) - ((djelomično ^ 2f) / (djelomično x djelomično y)) ^ 2 #

na svakoj kritičnoj točki. Vrijednosti druge djelomične izvedbe, #Delta#, a zaključak je sljedeći:

# {: ("Kritična točka", (djelomično ^ 2f) / (djelomično x ^ 2), (djelomično ^ 2f) / (djelomično y ^ 2), (djelomično ^ 2f) / (djelomično x djelomično y), Delta, "Zaključak"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sedlo"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Ove kritične točke možemo vidjeti ako pogledamo 3D grafiku:

Račun
Izbor urednika