Odgovor:
Teorema o srednjoj vrijednosti (IVT) kaže funkcije koje su kontinuirane u intervalu # A, b # preuzeti sve (srednje) vrijednosti između njihovih krajnosti. Teorema ekstremne vrijednosti (EVT) govori o funkcijama koje su kontinuirane # A, b # postižu svoje ekstremne vrijednosti (visoke i niske).
Obrazloženje:
Evo izjave EVT: Let # F # biti kontinuirani # A, b #, Onda postoje brojevi # c, d u a, b # tako da #f (c) leq f (x) leq f (d) # za sve #x u a, b #, Naveo drugi način, "supremum" # M # i "infimum" # M # raspona # f (x): x u a, b t postoje (oni su konačni) i postoje brojevi # c, d u a, b # tako da #F (c) = m # i #F (d) = M #.
Imajte na umu da je funkcija # F # mora biti kontinuirano # A, b # za zaključak. Na primjer, ako # F # je takva funkcija #F (0) = 0,5 #, #F (x) = x # za #0<>, i #F (1) = 0.5 #, onda # F # ne postiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost #0,1#, (Supremum i infimum u rasponu postoje (oni su 1 i 0, respektivno), ali funkcija nikada ne postiže (nikad jednako) ove vrijednosti.)
Napominjemo da interval mora biti zatvoren. Funkcija #F (x) = x # ne postiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost na otvorenom intervalu #(0,1)#, (Još jednom, supremum i infimum raspona postoje (oni su 1 i 0, respektivno), ali funkcija nikada ne postiže (nikad jednako) ove vrijednosti.)
Funkcija #F (x) = 1 / x # također ne postiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost na otvorenom intervalu #(0,1)#, Štoviše, supremum raspona čak ne postoji kao konačni broj (to je "beskonačnost").
Evo izjave IVT-a: Let # F # biti kontinuirani # A, b # i pretpostavimo #F (a!) = f (b) #, Ako # # V je bilo koji broj između #fa)# i #F (b) #, tada postoji broj #c u (a, b) # tako da #F (c) = v #, Štoviše, ako # # V je broj između supremuma i infimuma raspona # {f (x): x u a, b} #, tada postoji broj #c u a, b # tako da #F (c) = v #.
Ako crtate slike različitih prekidnih funkcija, prilično je jasno zašto # F # mora biti neprekidan da bi IVT bio istinit.
