Koji su ekstremi f (x) = 3x-1 / sinx na [pi / 2, (3pi) / 4]?

Odgovor:

Apsolutni minimum na domeni javlja se na cca. # (pi / 2, 3.7124) #, a apsolutni maksimum na domeni javlja se na cca. # (3pi / 4, 5.6544) #, Nema lokalnih ekstrema.

Obrazloženje:

Prije nego što počnemo, trebamo analizirati i vidjeti ako #sin x # poprima vrijednost #0# u bilo kojem trenutku intervala. #sin x # je nula za sve x tako da #x = npi #. # Pi / 2 # i # 3pi / 4 # oba su manje od # Pi # i veći od # 0pi = 0 #; Tako, #sin x # ovdje ne uzima vrijednost nula.

Da bi se to utvrdilo, prisjetite se da se ekstrem može dogoditi bilo gdje #f '(x) = 0 # (kritične točke) ili na jednoj od krajnjih točaka. Imajući to na umu, uzmemo derivat gornjeg f (x) i pronađemo točke gdje je taj derivat jednak 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Kako riješiti ovaj posljednji mandat?

Razmislite kratko recipročno pravilo, koji je razvijen za rješavanje situacija kao što je naš posljednji termin ovdje, # d / (dx) (1 / sin x) #, Recipročno pravilo omogućuje nam da zaobiđemo izravno koristeći lanac ili pravilo koeficijenta navodeći da je dano diferencirano djelovanje #G (x) *:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

kada #g (x)! = 0 #

Vraćajući se na našu glavnu jednadžbu, prekinuli smo;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Od #sin (x) * možemo razlikovati, ovdje možemo primijeniti recipročno pravilo:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Postavljanjem to je 0, dolazimo do:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

To se može dogoditi samo kada #cos x / sin ^ 2 x = -3., Odavde može biti potrebno da koristimo jednu od trigonometrijskih definicija, konkretno # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

To podsjeća na polinom, s #cos x # zamjenjujući naš tradicionalni x. Stoga izjavljujemo #cos x = u # i…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #, Koristeći kvadratnu formulu ovdje …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Naši se korijeni pojavljuju u #u = (1 + -sqrt37) / 6 # prema tome. Međutim, jedan od tih korijena (# (1 + sqrt37) / 6 #) ne može biti korijen za #cos x # jer je korijen veći od 1, i # -1 <cosx <1 # za sve x. Naš drugi korijen, s druge strane, izračunava kao približno #-.847127#, Međutim, to je manje od minimalne vrijednosti #cos x # Funkcija može na intervalu (od #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -707 <-847127 #, Tako, ne postoji kritična točka u domeni.

Imajući to na umu, moramo se vratiti na naše krajnje točke i staviti ih u izvornu funkciju. Čineći to, dobivamo #f (pi / 2) cca 3,7124, f (3pi / 4) cca 5,6544 #

Dakle, naš apsolutni minimum na domeni je otprilike # (pi / 2, 3.7124), # a naš maksimum je otprilike # (3pi / 4, 5.6544) #