Odgovor:
Približava se # 1 + i # (na mom kalkulatoru za grafove Ti-83)
Obrazloženje:
pustiti # S = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}}} #
Prvo, uz pretpostavku da se ova beskonačna serija konvergira (tj. Pretpostavlja da S postoji i uzima vrijednost kompleksnog broja), # S ^ 2 = -2 + 2 kvadrat {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# S ^ 2 + 2 = 2 sqrt {-2 + 2 kvadrat {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + 2 sqrt {-2 + …}}}} #
# frac {S ^ 2 + 2} {2} = S #
A ako riješite za S:
# S ^ 2 + 2 = 2S, S ^ 2 - 2S + 2 = 0 #
i primjenom kvadratne formule dobivate:
# S = frac {2 pm sqrt {4-8}} {2} = frac {2 pm sqrt {-4}} {2} = frac {2 pm 2i} {2} = 1
Funkcija kvadratnog korijena obično uzima pozitivnu vrijednost # S = 1 + i #
Dakle, ako se konvergira onda se mora približiti # 1 + i #
Sada sve što trebate učiniti je dokazati da konvergira ili ako ste lijen poput mene onda možete uključiti #. sqrt {-2} # u kalkulator koji može obraditi imaginarne brojeve i koristiti relaciju recidiva:
# f (1) = sqrt {-2} #
# f (n + 1) = sqrt {-2 + 2 sqrt {f (n)} #
Ponavljala sam ovo mnogo puta na mom Ti - 83 i otkrila da se približava, primjerice nakon što sam ga ponovio negdje oko 20 puta.
# 1,000694478 + 1.001394137i #
prilično dobra aproksimacija
