Jednakokračan trokut ima strane A, B i C, pri čemu su stranice B i C jednake duljine. Ako se strana A kreće od (1, 4) do (5, 1), a površina trokuta je 15, koje su moguće koordinate trećeg kuta trokuta?

Odgovor:

Dva vrha čine bazu duljine 5, tako da visina mora biti 6 da bi se dobilo područje 15. Noga je središte točaka, a šest jedinica u oba pravca daje # (33/5, 73/10)# ili #(- 3/5, - 23/10) #.

Obrazloženje:

Pro tip: Pokušajte se držati konvencije malih slova za strane trokuta i kapitela za vrhove trokuta.

Dobili smo dvije točke i područje jednakokračnog trokuta. Dvije točke čine bazu, # B = sqrt {(5-1) ^ 2 + (1-4) ^ 2} = 5 #

Stopalo # F # visine je sredina dviju točaka, #F = ((1 + 5) / 2, (4 + 1) / 2) = (3, 5/2) #

Vektor smjera između točaka je #(1-5, 4-1)=(-4,3)# s magnitudom 5 koja je upravo izračunata. Dobivamo pravac vektora okomice zamjenom točaka i negirajući jedan od njih: #(3,4)# koji također mora imati magnitude pet.

Od tog područja # A = frac 1 2 b h = 15 # dobivamo # H = (2 x 15) /b=6.#

Moramo se premjestiti #6# jedinica iz # F # u oba pravca kako bismo dobili treći vrh koji sam nazvao # C #:

# C = F 6 6 frac {(3,4)} {5} = (3, 5/2) pm 6/5 (3,4) #

# C = (33/5, 73/10) ili C = (- 3/5, - 23/10) #

Ček: #(5,1)-(1,4)=(4,-3)#

# (- 3/5, - 23/10)-(1,4)=(-8/5,-63/10)#

Potpisano područje je tada pola poprečnog proizvoda

# A = frac 1 2 (4 (-63/10) - (-3) (- 8/5)) = -15 quad sqrt {} #

To je kraj, ali hajde da malo generaliziramo odgovor. Zaboravimo da je to jednakost. Ako imamo C (x, y), područje je dano formulom za cipele:

| A = frak 1 2 | (1) (1) - (4) (5) + 5y-x + 4x-y | = 1/2 | 3x + 4y - 19 | #

Područje je #15#:

# # 15 15 = 1/2 (3x + 4y - 19) #

# 19 30 = 3x + 4y #

# 49 = 3x + 4y # ili # -11 = 3x + 4y #

Dakle, ako je vrh C na jednoj od te dvije paralelne linije, imat ćemo trokut područja 15.

pustiti # PR = A # biti jednakokračan trokut koji ima koordinate njegovih krajnjih točaka kako slijedi

#Pto (1,4) * i #Rto (5,1) #

Neka koordinate treće točke trokuta budu # (X, y) #.

Kao # (X, y) # je jednako udaljena od P i R možemo pisati

# (X-1) ^ 2 + (y-4) ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

# => X ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-8y + 16 = x ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-2y +1 #

# => 8x 6y = 9 #

# => X = (9 + 6y) / 8 …… 1 #

Opet # (X, y) # biti jednako udaljeni od P i R, okomica je pala # (X, y) # do # PR # mora ga prepoloviti, Neka ovo podnožje okomice ili središta # PR # biti # T #

Dakle, koordinate #Tto (3,2.5) #

Sada visina jednakokračnog trokuta

# H = sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) *

I bazu jednakokračnog trokuta

PR = # A = sqrt ((1-5) ^ 2 + (4-1) ^ 2) = 5 #

Tako po problemu svoje područje

# 1 / 2xxAxxH = 15 #

# => H = 30 / A = 30/5 = 6 #

#sqrt ((x-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2) = 6 #

# => (X-3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 …. 2 #

Prema 2 i 1 dobivamo

# ((9 + 6y) / 8.3) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => 1/64 (6y-15) ^ 2 + (y-2.5) ^ 2 = 36 #

# => (6y-15) ^ 2 + 64 (y-2.5) ^ 2-36xx64 #

# => 36y ^ 2-180y + 225 + 64y ^ 2-320y + 400 = 48 ^ 2 #

# => 100y ^ 2-500y + 625 = 48 ^ 2 #

# => Y ^ 2-5y + 6,25 = 4,8 ^ 2 #

# => (Y-2.5) ^ 2-4,8 ^ 2 #

# => Y = 2.5pm4.8 #

Tako # y = 7,3 i y = -2,3 #

kada # Y = 7.3 #

# X = (9 + 6xx7.3) /8=6.6#

kada # Y = -2.3 #

# X = (9 + 6xx (-2,3)) / 8 = -0.6 #

Dakle, koordinate treće točke će biti

# (6.6,7.3) do "Q na slici" #

ILI

# (- 0.6, -2.3) do "S na slici" #