Što je valna funkcija i koji su zahtjevi da se dobro ponaša, tj. Da pravilno predstavlja fizičku stvarnost?

Odgovor:

Valna funkcija je kompleksna vrijednosna funkcija čija amplituda (apsolutna vrijednost) daje razdiobu vjerojatnosti. Međutim, ne ponaša se na isti način kao običan val.

Obrazloženje:

U kvantnoj mehanici govorimo o stanju sustava. Jedan od najjednostavnijih primjera je čestica koja može biti u spinu gore ili dolje, na primjer elektron. Kada izmjerimo spin sustava, ili ga mjerimo da je gore ili dolje. Stanje s kojim smo sigurni u ishod mjerenja nazivamo vlastito stanje (jedno gornje stanje # Uarr # i jedno dolje stanje # Darr #).

Postoje i stanja u kojima smo nesigurni u ishod mjerenja prije nego što ga izmjerimo. Ta stanja nazivamo superpozicijom i možemo ih zapisati kao # A * b * + uarr darr #, Ovdje imamo # | A | ^ 2 # vjerojatnost mjerenja # Uarr #, i # | B | ^ 2 # vjerojatnost mjerenja # Darr #, To naravno znači # | A | ^ 2 + | b | ^ 2-1 #, Dopuštamo # A, b # da budu kompleksni brojevi, razlog za to nije odmah jasan iz ovog primjera, ali u kontekstu valne funkcije bit će jasniji. Dno crta je da postoji više stanja od jednog koji daju iste vjerojatnosti za mjerenje okretaja.

Sada bismo mogli pokušati dodijeliti funkciju ovom spinskom stanju. Budući da postoje samo dva ishoda mjerenja spina, imamo funkciju koja ima samo dva moguća ulaza. Ako pozovemo funkciju # Psi # (ovo je vrlo konvencionalni simbol koji se koristi za navijanje valova), postavljamo #psi (uarr) = a # i #psi (darr) = b #.

Sada ćemo se okrenuti valnoj funkciji. Jedan aspekt čestice je, naravno, njegova lokacija. Kao iu slučaju spina, možemo mjeriti različite vrijednosti za lokaciju, a možemo imati stanja u kojima ishod mjerenja nije unaprijed određen. Budući da imamo nebrojenu beskonačnu količinu mjesta gdje čestica može biti, zapisujući to stanje kao # A * "ovdje" + b * "tamo" # neće učiniti. Međutim, ideja o funkciji koju smo koristili gore jest. Dakle, za bilo koju lokaciju #x#, imamo složenu vrijednost #psi (x) *, Funkcija gustoće vjerojatnosti čestice sada je dana # | Psi (x) | ^ 2 #.

S pravom gledano, povijesno je ideja o valnoj funkciji starija od ideje o vrtnji, ali mislim da razumijevanje ideje spina u određenoj mjeri pomaže u razumijevanju valne funkcije.

Sada, prije svega, zašto se vrednuje kompleks valne funkcije? Prvi razlog može se naći u ideji interferencije. Valna funkcija čestice može ometati samu sebe. Ova interferencija ima veze s zbrajanjem valnih funkcija, ako valne funkcije daju istu apsolutnu vrijednost na određenoj točki, tada je vjerojatnost mjerenja čestice oko te točke slična. Međutim, vrijednosti funkcija mogu biti različite, ako su iste, dodavanjem njih će se napraviti amplituda, ili gustoća vjerojatnosti 4 (#|2|^2#) puta veća (konstruktivna interferencija), a ako se razlikuju znakom, oni se međusobno negiraju (destruktivna interferencija). Međutim, može se razlikovati i na primjer faktor # I #, što znači da gustoća vjerojatnosti postaje #2# u tom trenutku veći. Znamo da se sve ove smetnje mogu pojaviti. Dakle, to upućuje na kompleksnu valnu funkciju koja je opisana ranije.

Drugi se razlog nalazi u Schrödingerovoj jednadžbi. U početku se mislilo da se te valne funkcije ponašaju kao klasični valovi. Međutim, kada je Schrödinger pokušao opisati ponašanje tih valova, ili barem njihovu evoluciju kroz vrijeme, otkrio je da jednadžba koja upravlja klasičnim valovima nije adekvatna. Da bi mogao raditi, morao je u jednadžbu uvesti kompleksni broj, što je dovelo do zaključka da i sama funkcija mora biti složena, a redoslijed derivata koji se pojavljuju u jednadžbi razlikuje se od klasične valne jednadžbe.

Ta razlika u jednadžbama također odgovara na drugo pitanje. Budući da se evolucija valne funkcije toliko razlikuje od klasičnih valova, ne možemo koristiti iste metode koje koristimo u klasičnoj valnoj fizici. Naravno, postoje geometrijski argumenti koje možete upotrijebiti, ali neće biti dovoljno opisati sve pojave u kvantnoj fizici. Osim toga, iako valna funkcija daje mnogo informacija o stanju čestice, ona vam ništa ne govori o njegovom spinu, budući da promatrani spin i mjesto imaju malo veze s drugim.

Možda pogrešno tumačim ono što mislite pod geometrijskom prirodom. Možete li možda dati primjer onoga što mislite. Možda bih vam onda mogao pomoći.

valna funkcija predstavlja stanje kvantnog mehaničkog sustava kao što je atom ili molekula.

Može se predstaviti i kao # Psi #, Vrijeme neovisan valna funkcija, ili # Psi #, ovisno o vremenu valna funkcija.

Jer val funkcija očito predstavlja sustav koji se ponaša kao val (nije slučajnost da se to zove val funkcija!), inače bismo očekivali neograničen valna funkcija nema granica. Uzmite u obzir činjenicu da # Sinx # i # Cosx #, dvije funkcije koje su jasno valovita, imaju domene od # (- oo, oo) #.

PRIMJER: FUNKCIJA VALJA ZA ORBITALE

No uzmimo na primjer orbitale. Mora postojati skup rubni uvjeti za orbitalu, jer očito orbitale nisu beskonačno velike.

Funkcija valova može prikazati linearna kombinacija atomskih orbitala formirati molekularne orbitale:

#color (plava) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = boja (plava) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +..) #

gdje # C_i # je koeficijent ekspanzije koji ukazuje na doprinos svake atomske orbite dotičnoj molekularnoj orbiti, i # Phi_i ^ "AO" # je eksperimentalna / pokusna valna funkcija za svaku atomsku orbitalu.

Budući da valna funkcija mora biti u stanju predstavljati orbitalu, ona mora imati pozitivan radijus (#r> 0 #) i valna funkcija mora biti singl -cijenjeni, zatvoreno , stalan , ortogonalna na sve povezane valne funkcije, i normalizable .

Drugim riječima, mora proći test okomite crte, imati ograničeno područje ispod krivulje, nema skokova / diskontinuiteta / asimptota / prekida i zadovoljiti sljedeće dvije jednadžbe:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(integral valne funkcije i njezinog kompleksnog konjugata je #0# ako su valne funkcije različite)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(integral valne funkcije i njegov kompleksni konjugat normalizira se tako da je jednak #1# ako su valne funkcije jednake osim znaka # PMI #)

Jedan primjer jednadžbe za valnu funkciju u sfernim koordinatama za atom vodika je:

#color (plava) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = boja (plava) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Da mislim, zapravo sam proveo vrijeme da to normaliziram. Čak sam uzeo vremena provjeriti ortogonalnost s druga dva # 2p # valne funkcije.: P

Za svaki slučaj, ovdje je dodatak onome što sam gore povezao u Scratchpads.

#' '#

Normalizacija

# 2p_z # atomska orbitalna valna funkcija je:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

Je li # 2p_z # wavefunction stvarno normalizirani? HAJDE DA VIDIMO!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (zelena) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Sada, ispitujući samo radijalni dio, koji je ludi dio … započnite četverostruku integraciju dijelova!

VREDNOVANJE RADIJALNE KOMPONENTE FUNKCIJE VALJA

1. dio

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Neka:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr.

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

2. dio

Neka:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr.

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

3. dio

Neka:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr.

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Dio 4

Neka:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr.

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0))) dr}} #

ŠIRENJE / POJEDNOSTAVLJIVANJE

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0)) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

EVALUACIJA - SPREMNI OBLIK

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Prva polovica otkazuje biti #0#:

# = otkazati ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 (a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

Druga polovica pojednostavljuje biti # 1 x (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = otkazati (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) poništiti ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + otkazati (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + otkazati (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + otkazati (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Sada, preispitajmo valnu funkciju kao cjelinu …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (poništi (32) poništi (pi)) poništi ((Z / a_0) ^ 5) (poništi (16) otkazivanje ((a_0 / Z) ^ 5)) (poništi (2) otkazivanje (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (plava) (1 = 1) #

DA! JEDAN JEDINSTVO! Mislim…

Funkcija valova je doista normalizirana!: D

Dokazivanje međusobne ortogonalnosti za 2p valne funkcije

Izaberemo sljedeće valne funkcije:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Da bismo pokazali da su ortogonalni, moramo prikazati barem jednu od njih:

#int _ ("sve prostor") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

A iz indukcije možemo implicirati ostatak jer su radijalne komponente identične. Drugim riječima:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (zelena) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Pokazalo se da je radijalni dio # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #, Dakle, procijenimo kutne dijelove.

# Teta # dio:

#color (zeleno) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Neka:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = boja (zelena) (0) #

A sada # Fi # dio:

#color (zeleno) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Neka:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = boja (zelena) (0) #

Stoga, ukupno imamo:

#color (plava) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = otkazati (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = boja (plava) (0) #

Od

#int _ ("sve prostor") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # i # 2p_x # atomske orbitale su ortogonalne.

Stvarno, glavna razlika s korištenjem # 2p_y # Jednadžba je da umjesto toga dobijete:

#color (zelena) ("Konstante" int_ (0) ^ (oo) "Iste stvari" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

I tako:

#color (plava) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = boja (plava) (0) #

Od množenja #0# drugim integralima, tako da cijeli integral nestaje i:

#int _ ("sav prostor") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

dakle, # 2p_x # i # 2p_y # atomske orbitale su ortogonalne.

Konačno, za # 2p_y # nasuprot # 2p_z #:

#color (zelena) ("Konstante" int_ (0) ^ (oo) "Iste stvari" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Znamo # Teta # integralni od prije:

#color (plava) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = boja (plava) (0) #

I tako cijeli integralni dio nestaje ponovno, i doista # 2p_y # i # 2p_z # orbitale su također ortogonalne!