Funkcija 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 je maksimum, minimum ili točka infleksije?

Odgovor:

Nema min ili maks
Točka infleksije na #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Obrazloženje:

Mins i Maxes

Za dano #x#-vrijednost (nazovimo je # C #) biti max ili min za danu funkciju, mora zadovoljiti sljedeće:

#f '(c) = 0 # ili nedefinirano.

Ove vrijednosti # C # nazivaju se i vašim kritične točke.

Napomena: nisu sve kritične točke max / min, ali sve su max / min kritične točke

Nađimo ih za vašu funkciju:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

To ne utječe na činjenice, pa pokušajmo kvadratnom formulom:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… i možemo stati tamo. Kao što možete vidjeti, završavamo s negativnim brojem ispod kvadratnog korijena. Dakle, postoje nema stvarnih kritičnih točaka za ovu funkciju.

Točke infleksije

Sada pronađimo točke infleksije. To su točke gdje grafikon ima promjenu u konkavnosti (ili zakrivljenosti). Za točku (nazovi je # C #) biti točka prevoj, mora zadovoljiti sljedeće:

#f '' (c) = 0 #.

Napomena: Nisu sve takve točke točke infleksije, ali sve točke infleksije moraju to zadovoljiti.

Zato pronađimo sljedeće:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Sada, moramo provjeriti je li to zapravo točka infleksije. Morat ćemo to provjeriti #F '(X) * zapravo mijenja znak na #x = -2 / 3 #.

Zato testiraj vrijednosti s lijeve i desne strane #x = -2 / 3 #:

Pravo:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Lijevo:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Nije nas toliko briga što su stvarne vrijednosti, ali kao što možemo jasno vidjeti, postoji pozitivan broj desno od #x = -2 / 3 #, a negativan broj lijevo od #x = -2 / 3 #, Dakle, to je doista točka infleksije.

Sažeti, #F (x) * nema kritičnih točaka (ili mins ili maxes), ali ima točku infleksije na #x = -2 / 3 #.

Pogledajmo graf #F (x) * i pogledajte što ovi rezultati znače:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Ovaj grafikon raste svugdje, tako da nema mjesta gdje je derivat = 0. Međutim, on se kreće od zakrivljenog prema dolje (konkavno prema dolje) do zakrivljenog prema gore (konkavno prema gore) na #x = -2 / 3 #.

Nadam se da je to pomoglo:)